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Hallo,
ich ich hab' immer noch ein Problem mit dem Beweis, daß man über die unten angegebenen Folgen die Näherungsbrüche eines Kettenbruchs erhält. Darum hab ich mich mal an einem eigenen Beweis versucht:
Es seien [mm]a_1, \dots, a_n[/mm] natürliche und [mm]a_0[/mm] eine ganze Zahl. Weiter seien [mm] $(P_n)$, $(Q_n)$ [/mm] definiert durch
[mm] \begin{matrix}
P_{-2}&=0 \\
Q_{-2} &=1 \\
P_{-1}&=1 \\
Q_{-1} &=0 \\
P_m&=a_mP_{m-1}+P_{m-2} \\
Q_m&=a_mQ_{m-1} +Q_{m-2} & \mbox{für} 0 \le m \le n
\end{matrix} [/mm]
Für [mm] m \le n [/mm] berechne
[mm] \begin{matrix}
\langle a_0, a_1, \ldots, a_m\rangle &= a_0 +\frac{1}{\langle a_1, a_2, \ldots, a_m \rangle}
&=\a_0+\frac{\langle a_2, \ldots, a_m\rangle}{a_1 \cdot \langle a_2, \ldots, a_m\rangle +1} \\
&&=\frac{a_0(a_1 \cdot \langle a_2, \ldots, a_m \rangle +1) +\langle a_2, \ldots, a_m \rangle}
{a_1 \cdot \langle a_2, \ldots, a_m \rangle +1} \\
&&=\frac{(a_0a_1+1) \cdot \langle a_2, \ldots, a_m \rangle +a_0}{a_1 \cdot \langle a_2, \ldots,
a_m \rangle +1} \\
&&=\frac{P_1 \cdot \langle a_2, \ldots, a_m \rangle +P_0}{Q_1 \cdot \langle a_2, \ldots,
a_m \rangle +Q_0}
\end{matrix} [/mm]
Wenden wir nun wieder die Definition des einfachen Kettenbruchs auf den Bruch in der Gleichung
[mm] \begin{matrix}
\langle a_0, a_1, \ldots, a_m \rangle=\frac{P_1 \cdot \langle a_2, \ldots, a_m \rangle +P_0}{Q_1 \cdot
\langle a_2, \ldots, a_m \rangle +Q_0}
\end{matrix} [/mm]
und wenden die rekursionsvorschrift der Folgen [mm] $(P_n)$, $(Q_n)$ [/mm] an, erhalten wir
[mm]\begin{matrix}
\langle a_0, a_1, \ldots, a_m \rangle &=\frac{P_2 +\frac{P_1}{ \rangle a_3, \ldots, a_m \rangle}}
{Q_2 +\frac{Q_1}{\langle a_3, \ldots, a_m \rangle}}
&=\frac{P_2 \cdot \langle a_3, \ldots, a_m \rangle +P_2}{Q_2 \cdot
\langle a_3, \ldots, a_m \rangle +Q_1}\end{matrix} [/mm]
Wiederholen wir diese Schritte, gelangen wir schließlich zu der Gleichung
[mm] \begin{matrix}
\langle a_0, a_1, \ldots, a_m \rangle&=\frac{P_m \cdot \langle a_m\rangle +P_{m-1}}{Q_m \cdot \langle a_m \rangle +Q_{m-1}} \end{matrix} [/mm]
Jetzt steht das gewünschte schon fast da, man muß nur noch [mm] \langle a \rangle=a [/mm] ausnutzen.
Nun zu meiner eigentlichen Frage: In den Beweisen, die ich bis jetzt gefunden habe, ist von "Induktion nach der Länge des Kettenbruchs" die Rede. Nur wie soll das gehen? über den Bruch [mm] \langle a_1, \ldots, a_{m+1}\rangle [/mm] kann man ja trotz Induktionsannahme nicht viel sagen...
Gruß
zahlenspieler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Fr 01.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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