Kettenbrüche regulär machen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Do 25.08.2016 | | Autor: | reverend |
Hallo Forum! 
Ich beschäftige mich gerade mit Kettenbruchdarstellungen von Wurzeln mit Index>2, also kubischen, biquadratischen, vor allem aber höheren.
Hierzu gibt es einen ![[]](/images/popup.gif) Algorithmus zur Darstellung als Kettenbruch. Diese ist aber nicht regulär - die Teilzähler sind also nicht alle (hier sogar nie) 1.
Nun behauptet zwar Moritz/Moriz Stern schon 1834 in seiner "Theorie der Kettenbrüche", dass eine Umwandlung in reguläre Kettenbrüche immer möglich sei, aber ich sehe partout nicht, wie. (Hinweis steht kurz vor $26, S. 31 im oberen Drittel). Bei endlichen Kettenbrüchen ist das noch relativ einfach, aber bei unendlichen (ohne erkennbare Regelmäßigkeit) scheitere ich.
Hat jemand evtl. Literaturtipps oder andere Ideen?
Nehmen wir als Beispiel eine 16. Wurzel. Die verlinkte englische Seite führt mit beiden Darstellungen schnell zu sehr großen Zahlen. Ebendie möchte ich vermeiden, auch wenn mir klar ist, dass bei Approximationen durch Kettenbrüche die Rationaldarstellungen (also als einfacher Bruch) Zähler und Nenner sehr schnell wachsen. Bei den dargestellten Formen aber ist dieses Wachstum immens größer als bei regulären Kettenbrüchen.
Viele Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Fr 26.08.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
soweit mit bekannt ist heisst "regulärer" Kettenbruch jeder, der mit natürlichen Zahlen in den Nennern arbeitet, nicht mit jeweils 1. ich denke darauf bezieht sich der Satz, dass man jede reelle Zahl in einen regulären Kettenbruch verwandeln kann.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Fr 26.08.2016 | | Autor: | reverend |
Hallo leduart - und dankeschön!
Aber...
> soweit mir bekannt ist heisst "regulärer" Kettenbruch
> jeder, der mit natürlichen Zahlen in den Nennern arbeitet,
> nicht mit jeweils 1.
Ja, die Nenner sind beliebige natürliche Zahlen. Regulär ist der Kettenbruch genau dann, wenn alle Teilzähler 1 sind (so an allen Fundorten, die ich eingesehen habe).
> ich denke darauf bezieht sich der
> Satz, dass man jede reelle Zahl in einen regulären
> Kettenbruch verwandeln kann.
Das kann man detailliert nachlesen; ja, so ist es.
Mein Problem ist aber, dass ich einen nicht regulären Kettenbruch habe und diesen in einen regulären verwandeln will.
Da meine Kettenbrüche allesamt unendlicher Länge sind, brauche ich einen Algorithmus, mit dem diese Umrechnung gelingt.
Möglicherweise gibt es einen solchen nicht oder noch nicht - so findet man z.B. keine Kettenbruchdarstellung von e in regulärer Form, dafür in mehreren - offenbar adäquaten! - recht regelmäßig aufgebauten.
Herzliche Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:23 Sa 27.08.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo reverend
ich denke, das in wiki https://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch
unter verallgemeinerter euklidischer Algorithmus genannte Verfahren erzeugt diese regulären Kettenbrüche.
Gruß leduart
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> Hallo reverend
> ich denke, das in wiki
> https://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch
> unter verallgemeinerter euklidischer Algorithmus
> genannte Verfahren erzeugt diese regulären Kettenbrüche.
> Gruß leduart
Hallo leduart und reverend
nach meiner Ansicht ist es etwas heikel, hier von einem
Algorithmus zu sprechen, falls es wirklich darum gehen
soll, einen (noch nicht regulären) Kettenbruch in einen
äquivalenten, aber regulären zu verwandeln.
Bei jedem Schritt müsste ja dabei der Ganzzahl-Anteil
[mm] $\lfloor \alpha \rfloor$ [/mm] einer irrationalen Zahl [mm] \alpha [/mm] bestimmt werden,
die man ja erst zahlenmäßig darstellen will. Das Verfahren
enthält also einen logischen Zirkel. Für einen brauchbaren
Algorithmus müsste man das Verfahren "zirkelfrei" machen.
LG , Al
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