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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Fr 25.06.2010 | | Autor: | Kyrill87 |
| Aufgabe | Betrachten Weg:
[mm] f:\IR\to\IR^{2} [/mm]
[mm] t\mapsto(t,cosh(t)) [/mm]
Parametriseren Sie f|[0,a] für jedes a>0 nach der Bogenlänge |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So Ich habe jetz angefangen die Bogenlänge zu berechnen:
[mm] L(f)=\integral_{0}^{a}{||f'(t)|| dt} [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{a}{\wurzel{1+sinh^{2}(t)}dt}= \integral_{0}^{a}{\wurzel{cosh^{2}(t)}dt} [/mm] da [mm] cosh^{2}\ge [/mm] 0 gilt:
[mm] =\integral_{0}^{a}{cosh(t) dt}= sinh(t)|_{0}^{a} [/mm] =sinh(a) [mm] \Rightarrow [/mm] L(f)=sinh(a)
aber jetzt ist mein Problem, dass ich nicht weiß wie ich weiter machen soll!
Wäre über Tipps sehr dankbar. 
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> Betrachten Weg:
> [mm]f:\IR\to\IR^{2}[/mm]
> [mm]t\mapsto(t,cosh(t))[/mm]
>
> Parametriseren Sie f|[0,a] für jedes a>0 nach der
> Bogenlänge
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> So Ich habe jetz angefangen die Bogenlänge zu berechnen:
> [mm]L(f)=\integral_{0}^{a}{||f'(t)|| dt}[/mm]
> [mm]=\integral_{0}^{a}{\wurzel{1+sinh^{2}(t)}dt}= \integral_{0}^{a}{\wurzel{cosh^{2}(t)}dt}[/mm]
> da [mm]cosh^{2}\ge[/mm] 0 gilt:
> [mm]=\integral_{0}^{a}{cosh(t) dt}= sinh(t)|_{0}^{a}[/mm] =sinh(a)
> [mm]\Rightarrow[/mm] L(f)=sinh(a)
>
> aber jetzt ist mein Problem, dass ich nicht weiß wie ich
> weiter machen soll!
> Wäre über Tipps sehr dankbar.
Hallo Kyrill87,
wenn wir nun eine neue Variable s einführen, welche zur
Parametrisierung der Kurve nach der Bogenlänge dienen
soll, gehen wir am besten so vor: Dem Kurvenpunkt f(t=0)=(0/1)
ordnen wir auch den Wert s=0 zu. Von dort aus wird s
einfach schlicht als Bogenlänge entlang der Kurve ge-
messen (positiv nach rechts, negativ nach links).
Wegen der einfachen Lösung des Bogenlängenintegrals
zeigt sich, dass für einen gegebenen Wert von t gelten
muss: s=sinh(t) . Dies ist also die Transformations-
gleichung zwischen den beiden Parametrisierungen.
Nun muss man "nur noch" beide Koordinaten (die x- und
die y-Koordinate) eines beliebigen Kurvenpunktes
ebenfalls mittels s (statt durch t) ausdrücken (und
die entstehenden Gleichungen allenfalls vereinfachen).
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Fr 25.06.2010 | | Autor: | Kyrill87 |
Dankeschön, ich stell dann gleich mal nach t um, gucke ob ichs vereinfachen und setze dann die neue Gleichung für t in den Koordinaten ein und habe die Parametrisierung...
Super Dankeschön!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Fr 25.06.2010 | | Autor: | Kyrill87 |
Wenn ich jetzt s= sinh(t) habe und nach t umstelle, erhalte ich
t=arsinh(s)
setze ich das jetzt in meine gegebenen Koordinate ein (t,cosh(t))
erhalte ich als Parametrisierung:
(arsinh(s),cosh(arsinh(s)) [mm] cosh(arsinh(s))=\wurzel{1+sinh^{2}(arsinh(s)}=\wurzel{1+s^{2}}
[/mm]
Also als letztendliche Parametrisierung: [mm] s\mapsto(arsinh(s),\wurzel{1+s^{2}})
[/mm]
Das müsste doch jetzt so richtig sein?! Bitte nur um kurze Bestätigung oder falls ich jetzt doch nen Fehler gemacht habe, um Hinweis, wo der wäre.
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> Wenn ich jetzt s= sinh(t) habe und nach t umstelle, erhalte
> ich
> t=arsinh(s)
> setze ich das jetzt in meine gegebenen Koordinate ein
> (t,cosh(t))
>
> erhalte ich als Parametrisierung:
>
> (arsinh(s),cosh(arsinh(s))
> [mm]cosh(arsinh(s))=\wurzel{1+sinh^{2}(arsinh(s)}=\wurzel{1+s^{2}}[/mm]
>
> Also als letztendliche Parametrisierung:
> [mm]s\mapsto(arsinh(s),\wurzel{1+s^{2}})[/mm]
>
> Das müsste doch jetzt so richtig sein?! Bitte nur um kurze
> Bestätigung oder falls ich jetzt doch nen Fehler gemacht
> habe, um Hinweis, wo der wäre.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") alles korrekt !
übrigens: anstatt der eher ungewohnten Funktion arsinh(s)
könnte man auch schreiben:
$\ [mm] ln\left(s+\sqrt{s^2+1}\,\right)$
[/mm]
Schönen Abend !
Al
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