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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:51 Mi 23.05.2012 | | Autor: | pestaiia |
| Aufgabe | Skizzieren Sie folgende Kurven c [mm] :\IR\supsetI\to\IR^2 [/mm] mit angegebenen Intervallen I=(a,b) und berechnen Sie ihre Länge L(c) mit [mm] L(c)=\integral_{a}^{b}{|c'|dx}, [/mm] falls c stetig differenzierbar ist:
a) Kettenlinie c(t)=(t,cosht) für I=(-1;1);
b) Kreislinie c(t)=(rcost,rsint) mit r>0 und [mm] I=(0,4\pi);
[/mm]
c) Parabel [mm] c(t)=(t,\bruch{1}{2}t^2) [/mm] für I=(0,1) |
Hallo!
mein Problem bei der Aufgabe liegt zum einen darin, dass ich gar nicht weiß, wie ich eine Funktion im [mm] R^2 [/mm] zeichnet. Sprich c(t)=cosht könnte ich zeichnen, aber bei c(t)=(t, cosht) mit den Komponenten t UND cosht weiß ich nicht wie ich da vorgehen muss. Auch wie man eine solche Funktion integriert ist mir unklar.
Die zweite Sache die ich nicht verstehe, ist warum man das Integral über die Ableitung und nicht über die Funktion selbst bildet?
Vielen Dank schon im Voraus für eure Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:00 Mi 23.05.2012 | | Autor: | pestaiia |
Ich versuche gerade im Internet Antworten zu finden...
Also die Kurven c sind stetig differenzierbar wenn die einzelnen Komponenten stetig diffbar sind oder?
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Hallo,
> Ich versuche gerade im Internet Antworten zu finden...
> Also die Kurven c sind stetig differenzierbar wenn die
> einzelnen Komponenten stetig diffbar sind oder?
Ja.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:20 Mi 23.05.2012 | | Autor: | pestaiia |
Für die Kreislinie habe ich die Länge berechnet: L= [mm] \bruch{2}{3}\wurzel{(4\pi)^3}, [/mm] stimmt das?
Dazu habe ich erst c' berechnet: (-rsint,rcost)
dann den Betrag von c': [mm] \wurzel{r}
[/mm]
und das Integral von 0 bis [mm] 4\pi [/mm] von |c'| ergibt dann die oben genannte Länge.
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Hallo,
oO, was sagt dir denn diese Formel:
[mm] u=2*\pi*r
[/mm]
?
Es geht um eine Kurvenlinie, die aus genau zwei Kreisumnläufen besteht. Was sollte da wohl (in Abhöngigkeit von r) herauskommen?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:50 Mi 23.05.2012 | | Autor: | pestaiia |
das ist die Formel für den Umfang eines Kreises .
Also soll bei der Länge der Kurve [mm] 2\pir [/mm] rauskommen?
Dann hab ich beim Integrieren wohl was falsch gemacht...
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Hallo,
> das ist die Formel für den Umfang eines Kreises.
> Also soll bei der Länge der Kurve [mm]2\pir[/mm] rauskommen?
> Dann hab ich beim Integrieren wohl was falsch gemacht...
nein. Der Kreis wird zweimal durchlaufen und der Radius r ist nicht gegeben. Also muss das Ergebnis noch von r abhängen.
Was bei deinen Rechnungen schief läuft, kann man wie schon gesagt, anhand deines Startbeitrags erahnen. Es sicher sagen und dir helfen wird man nur können, wenn du deine Rechnungen präsentierst.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Mi 23.05.2012 | | Autor: | pestaiia |
Irgendwas ist beim Tippen schief gelaufen... ich meinte [mm] L=2*\pi*r.
[/mm]
Meine Rechnung:
[mm] L(c)=\integral_{0}^{4*\pi}{ \wurzel{r}dx}=\bruch{2}{3}*\wurzel{r^3}
[/mm]
und dann die Grenzen einsetzen und ausrechen also [mm] 4\pi [/mm] und 0 oder?
bei Wikipedia steht bei der Parameterdarstellung statt den Grenzen a und b, [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta. [/mm] wie bekommen diese "neuen" Grenzenß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 Mi 23.05.2012 | | Autor: | pestaiia |
Oh ich muss ja nach x und nicht nach r integrieren:-(...
dann kommt für L [mm] 4*\pi*\wurzel{r} [/mm] raus oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:32 Mi 23.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Oh ich muss ja nach x und nicht nach r integrieren:-(...
> dann kommt für L [mm]4*\pi*\wurzel{r}[/mm] raus oder?
Siehe meine Antwort vor einer Minute
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Mi 23.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Irgendwas ist beim Tippen schief gelaufen... ich meinte
> [mm]L=2*\pi*r.[/mm]
> Meine Rechnung:
> [mm]L(c)=\integral_{0}^{4*\pi}{ \wurzel{r}dx}=\bruch{2}{3}*\wurzel{r^3}[/mm]
Das ist doch völlig vermurkst !
Es ist doch $|c'(t)|=r$ für jedes t [mm] \in [/mm] [0,4 [mm] \pi]. [/mm] Somit:
$ [mm] L(c)=\integral_{0}^{4 \pi}{|c'(t)|dt}=\integral_{0}^{4 \pi}{r dt} [/mm] =r*4* [mm] \pi$
[/mm]
( die Integrationsvariable ist t und nicht r !!!!)=
FRED
>
> und dann die Grenzen einsetzen und ausrechen also [mm]4\pi[/mm] und
> 0 oder?
> bei Wikipedia steht bei der Parameterdarstellung statt den
> Grenzen a und b, [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta.[/mm] wie bekommen diese
> "neuen" Grenzenß
Soll ich mich jetzt auf die Suche machen nach der Wikiseite , auf der Du das gelesen hast ?
FRED
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Hallo,
zunächst ein Tipp zum Zeichnen: es geht um ganz gewöhnliche Kurven in einem x-y-Koordinatensystem. Du setzt für den Parameter t Werte ein und die beiden Komponenten der Funktion liefern dir x- und y-Koordinate des entsprechenden Punktes. Es sind einfach Funktionen in Parameterdarstellung.
> ... Auch wie man eine solche Funktion
> integriert ist mir unklar.
Da hast du etwas völlig falsch verstanden: es sind nicht die gegebenen Funktionen zu integrieren.
> Die zweite Sache die ich nicht verstehe, ist warum man das
> Integral über die Ableitung und nicht über die Funktion
> selbst bildet?
Auch hier hast du nicht aufgepasst. Da steht nicht die Ableitung, sondern die Euklidische Norm der Ableitung, oder wenn du es anschaulich willst: ihr Betrag. Und dieser Betrag soll nach x integriert werden, wobei zu beachten ist, dass man dann die gegebenen Grenzen für [mm] \phi [/mm] umparametrisieren muss.
Eine Erläuterung zur Bogenlänge einer Kurve findet man zum Beispiel bei den üblichen ![[]](/images/popup.gif) Verdächtigen.
Gruß, Diophant
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