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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 So 01.07.2007 | | Autor: | nali |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\bruch{e^x+e^{-x}}{2}
[/mm]
a)Approximieren Sie die Kettenlinie im Interval -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 durch ein Polynom, welches in den Punkten [mm] x_{1}=0 [/mm] und [mm] x_{2}=1 [/mm] sowohl in puncto Funktionswert als auch in puncto Steigung mit der Kettenlinie übereinstimmt!
b) Geben Sie die Koeffizienten nach Möglichkeit in Abhängigkeit von e an! |
Als Polynom könnte man das als Gleichungssystem versuchen
f(0)=1
[mm] f(1)\approx [/mm] 1,54
f'(0)=0
[mm] f'(1)\approx [/mm] 1,18
die Funktionen ins LGS usw. (da bin ich grad dabei)
Wie kriegt man sowas in Abhängigkeit von e ???
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> [mm]f(x)=\bruch{e^x+e^{-x}}{2}[/mm]
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> a)Approximieren Sie die Kettenlinie im Interval -1 [mm]\le[/mm] x
> [mm]\le[/mm] 1 durch ein Polynom, welches in den Punkten [mm]x_{1}=0[/mm] und
> [mm]x_{2}=1[/mm] sowohl in puncto Funktionswert als auch in puncto
> Steigung mit der Kettenlinie übereinstimmt!
>
> b) Geben Sie die Koeffizienten nach Möglichkeit in
> Abhängigkeit von e an!
> Als Polynom könnte man das als Gleichungssystem versuchen
>
> f(0)=1
> [mm]f(1)\approx[/mm] 1,54
> f'(0)=0
> [mm]f'(1)\approx[/mm] 1,18
>
> die Funktionen ins LGS usw. (da bin ich grad dabei)
>
> Wie kriegt man sowas in Abhängigkeit von e ???
Hi,
wenn du $f(1)$ und $f'(1)$ mal genau und nicht approximiert niederschreibst, hast du diese beiden Werte in Abhängigkeit von $e$. Außerdem kannst du (was aber nicht sehr sinnig ist) auch den Wert 1 in Abhängigkeit von $e$ beschreiben (wann ist eine Potenz =1??).
Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 So 01.07.2007 | | Autor: | nali |
Ich will jetzt mal kein Sodomist sein, aber könnten wir die Ergebnisse vergleichen?
ich habe eine Funktion vom Typ [mm] a*x^4+b*x^2+c [/mm] genommen
c=1
[mm] a=\bruch{(e-1)*e^{-1}}{3}
[/mm]
[mm] b=\bruch{(3e^{2}-8*e+5)*e^{-1}}{6}
[/mm]
entweder verhaue ich mich hier andauernd mit dem Taschenrechner oder ich tue was falsch, hat jemand CAS?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 So 01.07.2007 | | Autor: | Kroni |
> Ich will jetzt mal kein Sodomist sein, aber könnten wir die
> Ergebnisse vergleichen?
>
> ich habe eine Funktion vom Typ [mm]a*x^4+b*x^2+c[/mm]
genommen
> c=1
> [mm]a=\bruch{(e-1)*e^{-1}}{3}[/mm]
> [mm]b=\bruch{(3e^{2}-8*e+5)*e^{-1}}{6}[/mm]
>
> entweder verhaue ich mich hier andauernd mit dem
> Taschenrechner oder ich tue was falsch, hat jemand CAS?
Hi, erst eine Frage:
Du hast vier Infos plus die Info der y-Achsen-Symmetrie.
Warum wählst du dann eine Funktion 4ten Gerades aus?
Du hast dort doch nur 3 unbekannte, d.h. eine Info von den vier Informationen "wirfst" du quasi weg.
Ich würde anstzten:
[mm] f(x)=ax^6+bx^4+cx^2+d
[/mm]
Und das ganze dann mit den Infos "speisen".
EDIT: Ahso, gut, bei f'(0)=0 fällt eine Info als allgemeingültig weg..
Werde das gleich mal ins CAS eingeben.
EDIT 2: So, jetzt das Ergebnis vom CAS:
[mm] $g(x)=-\frac{e-4+3e^{-1}}{4}\cdot x^4 [/mm] + [mm] \frac{3e-8+5e^{-1}}{4} \cdot x^2 [/mm] + 1$
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:10 Mo 02.07.2007 | | Autor: | nali |
mittlerweile habe ich die Aufgabenstellung nochmal durchgelesen. Da steht nichts davon, dass es Punktsymetrisch sein muss :(
Habe gerade ein Polynom 3-Grades durchgelegt mit [mm] y=0,08588x^3+0,4572x^2+1
[/mm]
falls doch Punktsymetrie gewünscht ist kann man ja die Funktion in 2 Intervalle von -1 bis 0 und 0 bis 1 teilen.
Ich danke allen die geholfen haben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:17 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du sollst soweit ich das sehe, die FUnktion durch eine einzige Funktion approximieren.
Und da [mm] $f(-x)=\frac{e^{-x}+e^{-(-x)}}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=f(x)$ [/mm] ist die Funktion y-Achsen-Symmetrisch.
Deshalb emfpiehlt es sich, eine ganzrat. Funtktion zu wählen, die ebenfalls y-Achsen symmetrisch ist.
Da man die Info f'(0)=0 aber bei jeder y-Achsen-symmetrischen Funktion hat, fällt diese Info als Informationsträger für einen Parameter weg, so dass du [mm] g(x)=ax^4+bx^2+c [/mm] als Ansatz wäheln musst.
Ich kann das ganze aber auch nochmal mit einer ganzrat. Funktion dritten Gerades machen, wobei du dann aber keine optimale Lösung für das genannte Intervall hast, da du ja nur die vier Informationen hast.
Wählst du ne y-Achsen symmetrische ganzrat. Funktion dann hast du die vier Infos auch gleichzeitig mit auf der anderen Seite berücksichtigt.
Ansonsten solltest du ja noch mit "einspeisen", dass f(-1)=f(1) ist etc, und dann benutzt du mehr Infos als du sollst.
LG
Kroni
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