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Ich habe gerade ein Verständnisproblem.
Nehmen wir eine ganz einfache Funktion $f(x)$.
Ich möchte jetzt $f(x-y)$ differentieren, einmal bezüglich x und einmal bezüglich y. Das ergibt doch
[mm] $\frac{\partial}{\partial x} [/mm] f(x-y) = [mm] \frac{\partial}{\partial x} [/mm] f(x-y) [mm] \cdot [/mm] 1 = [mm] \frac{\partial}{\partial x} [/mm] f(x-y)$ und
[mm] $\frac{\partial}{\partial y} [/mm] f(x-y) = [mm] \frac{\partial}{\partial y} [/mm] f(x-y) [mm] \cdot [/mm] (-1) = -1 [mm] \frac{\partial}{\partial y} [/mm] f(x-y)$.
Ich habe die Kettenregel angewandt. Die zweite Gleichung kann von vorneherein ja nicht stimmen. Was ist falsch an meiner Notation, wie müsste es genau heißen?
Und gilt [mm] $\frac{\partial}{\partial x} [/mm] f(x-y) = [mm] -\frac{\partial}{\partial y} [/mm] f(x-y)$??
Stehe grad auf den Schlauch. Bitte eine genaue Erklärung, welche Regel hier gelt, eventuell einen Verweis  . Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Fr 06.06.2014 | | Autor: | chrisno |
Hallo
Hier lohnt es sich mal, etwas korrekter aufzuschreiben. Führe eine neue Funktion ein: $g(x,y) = x-y$.
Dann leitest Du $f(g(x,y))$ ab. Schreib auch die Kettenregel ordentlich hin.
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Ich möchte aber nicht, dass z.B. $g$ von zwei Variablen abhängt, sondern nur von einer, also $g(x)$.
$x$ ist der Ort, und die Funktionen haben jeweils nur diese eine Variable im Ort.
Was meintest Du?
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Hiho,
> Ich möchte aber nicht, dass z.B. [mm]g[/mm] von zwei Variablen abhängt, sondern nur von einer, also [mm]g(x)[/mm]. [mm]x[/mm] ist der Ort, und die Funktionen haben jeweils nur diese eine Variable im Ort.
Wenn du zwei Variablen hast, hast du gezwungenermaßen auch mindestens eine Funktion, die von zwei Variablen abhängt.
Dein f ist das aber offensichtlich nicht, denn das hängt nur von einer Variablen ab.
Und da kommt dann deine schlampige Notation und die Wichtigkeit von Klammern ins Spiel.
Einmal meinst du nämlich [mm] $\bruch{\partial}{\partial x}\left(f(x-y)\right)$ [/mm] und das andere Mal meinst du [mm] $\left(\bruch{\partial}{\partial x}f\right)(x-y)$, [/mm] wobei der Ausdruck [mm] $\left(\bruch{\partial}{\partial x}f\right)$ [/mm] auch wieder falsch ist, da f ja gar nicht von zwei Variablen abhängt, sondern nur von einer und damit korrekterweise [mm] $\left(\bruch{d}{dx}f\right)$ [/mm] heißen müsste.
Darum auch der Hinweis von chrisno, es mal SAUBER(!!) aufzuschreiben, d.h du hast eine Funktion [mm] $f:\IR \to \IR$ [/mm] und eine Funktion $g: [mm] \IR^2 \to \IR$, [/mm] genauer $g(x,y) = x-y$ und möchtest [mm] $f\left(g(x,y)\right)$ [/mm] partiell nach x bzw y ableiten.
Da hilft auch deine Weigerung nichts, das geht nur so, wie chrisno dir richtigerweise empfohlen hat, dann siehst du auch, warum deine Aussage
> Die zweite Gleichung kann von vorneherein ja nicht stimmen
schlichtweg falsch ist, du hast sie einfach nur schlampig aufgeschrieben.
Gruß,
Gono.
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Viiiielen Dank . Jetzt habe ich wenigstens verstanden, um was es geht.
Ich habe diese Frage stellt, weil ich auf folgendes gestoßen bin und nicht wusste, warum das so ist:
[mm] $\nabla_x \rho(x-y) [/mm] = [mm] -\nabla_y \rho(x-y)$.
[/mm]
$x$ ist dabei 3-dimensional und [mm] $\rho(x)$ [/mm] die Dichte in Abhängigkeit vom Ort. Daher dachte ich, dass $f$ nur von einer Variablen abhängen kann. Aber die eine Variable wäre eben analog zu meiner Frage $g(x,y) = x-y$, also [mm] $\rho(x-y) [/mm] = [mm] \rho(g(x,y))$. [/mm] Damit hängt ja [mm] $\rho$ [/mm] weiterhin nur von einer Variablen ab, oder? Mir ist das nicht ganz klar, da $g$ von zwei Variablen abhängt.
[mm] $\rho$ [/mm] hängt zudem von der Zeit $t$ ab, aber das habe ich vernachlässigt, daher die partielle Ableitung.
Womit ich nicht klar kommen, ist eben die Abhängigkeit von $(x-y)$, das [mm] $\rho$ [/mm] auch von $(x-y)$ und nicht nur von $(x)$ abhängt. Die Kettenregel nach Wikipedia ist
$(u(v))'(x) = u'(v(x)) [mm] \cdot [/mm] v'(x)$.
Da habe ich auch bei $u$ und $v$ jeweils nur die Abhängigkeit von $(x)$, nicht von $x$ und $y$.
Dann müsste es quasi, analog zur Kettenregel in Wiki, so heißen:
$u(x) := [mm] \rho [/mm] (x)$ und $v(x) := x-y$.
Ich verstehe dann aber nicht, warum dann
[mm] $\nabla_x \rho(x-y) [/mm] = [mm] -\nabla_y \rho(x-y)$
[/mm]
gelten soll. Weiterhin kann ich [mm] $\rho$ [/mm] nicht nach $y$ ableiten -.-.
Ich bitte um eine genaue Erklärung, ich versteh das einfach nicht :-(.
Könntet ihr mir bitte die letzte Gleichung sauber herleiten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Do 12.06.2014 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] x=(x_1,x_2,x_3) [/mm] und [mm] y=(y_1,y_2,y_3).
[/mm]
Weiter haben wir eine Funktion [mm] \rho(z)=\rho(z_1,z_2,z_3). [/mm] Damit basteln wir uns eine neue Funktion:
[mm] f(x,y):=\rho(x-y),
[/mm]
Nach der Ketteregel ist für j=1,2,3:
[mm] f_{x_j}(x,y)=\rho_{z_1}(x-y)*(x_1-y_1)_{x_j}+\rho_{z_2}(x-y)*(x_2-y_2)_{x_j}+\rho_{z_3}(x-y)*(x_3-y_3)_{x_j}=\rho_{z_j}(x-y)*(x_j-y_j)_{x_j}=\rho_{z_j}(x-y)*1=\rho_{z_j}(x-y)
[/mm]
und
[mm] f_{y_j}(x,y)=\rho_{z_1}(x-y)*(x_1-y_1)_{y_j}+\rho_{z_2}(x-y)*(x_2-y_2)_{y_j}+\rho_{z_3}(x-y)*(x_3-y_3)_{y_j}=\rho_{z_j}(x-y)*(x_j-y_j)_{y_j}=\rho_{z_j}(x-y)*(-1)=-\rho_{z_j}(x-y)
[/mm]
Also:
[mm] f_{x_j}(x,y)=- f_{y_j}(x,y)
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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Es hilft mir schon etwas mehr. Dennoch stehe ich noch etwas auf den Schlauch, mir ist das schon regelrecht peinlich -.-.
Betrachten wir nochmals
$ [mm] f_{x_j}(x,y)=\rho_{z_1}(x-y)\cdot{}(x_1-y_1)_{x_j}+\rho_{z_2}(x-y)\cdot{}(x_2-y_2)_{x_j}+\rho_{z_3}(x-y)\cdot{}(x_3-y_3)_{x_j}=\rho_{z_j}(x-y)\cdot{}(x_j-y_j)_{x_j}=\rho_{z_j}(x-y)\cdot{}1=\rho_{z_j}(x-y) [/mm] $.
Ich habe mich zuerst gefragt, woher die Summanden kommen. Aber ich habe dann bei Wiki die mehrdimensionale Kettenregel gefunden, welche ja passt ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimensionale_Kettenregel. Ich bezieh mich dort auf den ersten Satz, und da auf die letzte Formel.
Nur eine Verständnisfrage. Wäre mein Punkt $p$ dann $p=(x,y)$? In der Formel ist dieser ja nur $p=x [mm] \in \IR^3$. [/mm]
Denn dem [mm] $h_i(p)$ [/mm] im Wikiartikel entspricht hier Dein $f(x,y)$, und da dachte ich, muss $p=(x,y)$ sein. Ist das möglich?
Vielen Dank aber nochmals! Ich fühle mich so doof.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Fr 13.06.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Es hilft mir schon etwas mehr. Dennoch stehe ich noch etwas
> auf den Schlauch, mir ist das schon regelrecht peinlich
> -.-.
> Betrachten wir nochmals
>
> [mm]f_{x_j}(x,y)=\rho_{z_1}(x-y)\cdot{}(x_1-y_1)_{x_j}+\rho_{z_2}(x-y)\cdot{}(x_2-y_2)_{x_j}+\rho_{z_3}(x-y)\cdot{}(x_3-y_3)_{x_j}=\rho_{z_j}(x-y)\cdot{}(x_j-y_j)_{x_j}=\rho_{z_j}(x-y)\cdot{}1=\rho_{z_j}(x-y) [/mm].
>
> Ich habe mich zuerst gefragt, woher die Summanden kommen.
> Aber ich habe dann bei Wiki die mehrdimensionale
> Kettenregel gefunden, welche ja passt
> http://de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimensionale_Kettenregel.
> Ich bezieh mich dort auf den ersten Satz, und da auf die
> letzte Formel.
Man könnte ausser den von FRED eingeführten Funktionen und Bezeichnungen
noch die Funktion $k: [mm] \IR^3 \times \IR^3 \to \IR^3, [/mm] k(x,y) := x-y$ definieren.
Dann wäre $f = [mm] \rho \circ [/mm] k$, $f(x,y) = [mm] \rho(k(x,y))$.
[/mm]
>
> Nur eine Verständnisfrage. Wäre mein Punkt [mm]p[/mm] dann
> [mm]p=(x,y)[/mm]? In der Formel ist dieser ja nur [mm]p=x \in \IR^3[/mm].
Ja. Der Unterschied ist nur, dass p = (x,y) [mm] $\in \IR^3 \times \IR^3$ [/mm] in deinem Beispiel ist
und p [mm] $\in \IR^n$ [/mm] in dem zitierten Satz in Wikipedia ist.
> Denn dem [mm]h_i(p)[/mm] im Wikiartikel entspricht hier Dein [mm]f(x,y)[/mm],
> und da dachte ich, muss [mm]p=(x,y)[/mm] sein. Ist das möglich?
Ja, genau.
>
> Vielen Dank aber nochmals! Ich fühle mich so doof.
Dazu gibt es keinen Grund. Es ist nicht einfach sich durch das ganze
Wirrwar von Indizes durchzukämpfen. Aber es wird klarer, wenn man
sich die Definitions- und Wertemenge jeder Funktion verdeutlicht.
>
Gruß
meili
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Schon mal vielen Dank an alle, ihr habt mir schon sehr geholfen. Ich versteh das jetzt auf den ganz formellen Weg mit dieser Formel aus Wiki.
Könnte ich aber auch folgendes schreiben?
[mm] $\bruch{\partial \rho(x-y)}{\partial x_k} [/mm] = [mm] \bruch{\partial \rho(x-y)}{\partial (x-y)} \bruch{\partial (x-y)}{\partial x_k} [/mm] = [mm] \bruch{\partial \rho(x-y)}{\partial (x-y)} \vektor{0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}$, [/mm]
wobei die $1$ an $k$-ter Stelle steht sowie analog
[mm] $\bruch{\partial \rho(x-y)}{\partial y_k} [/mm] = [mm] \bruch{\partial \rho(x-y)}{\partial (x-y)} \bruch{\partial (x-y)}{\partial y_k} [/mm] = [mm] \bruch{\partial \rho(x-y)}{\partial (x-y)} \vektor{0 \\ \vdots \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}$.
[/mm]
Dann würde ich ja auch sehen, dass
[mm] $\bruch{\partial \rho(x-y)}{\partial x_k} [/mm] = [mm] -\bruch{\partial \rho(x-y)}{\partial y_k}$
[/mm]
und somit
[mm] $\nabla_x \rho(x-y) [/mm] = [mm] -\nabla_y \rho(x-y)$.
[/mm]
Kann ich das so aufschreiben? Ich bin mir unsicher mit dem $(x-y)$ in [mm] $\partial \rho(x-y)$, [/mm] ob ich dies richtig verwende. Ich könnte mir doch dann $z := x-y$ definieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Mo 16.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, das ist richtig, und natürlich kannst du z=x-y schreiben, wenn du dann in der kettenregel zuerst nach z dann z nach [mm] x_k [/mm] ableitest.
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