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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Lucie |
Guten Abend,
heute hätt ich die Kettenregel im Angebot, die ich noch viel weniger kann als die anderen beiden!
Also erstmal weiß ich jetzt nicht mehr wann ich quotientenregel und wann die Kettenregel anwende und das mit der inneren und äußeren Funktion hab ich leider auch nicht verstanden!
Bsp.: [mm] \bruch{3}{(5-x)²}
[/mm]
nehm ich jetzt nicht einfach die Quotientenregel?
so wie ich das verstanden hab, würde man immer das was innerhalb einer Klammer steht als innere Funktion ansehen und das außerhalb als äußere, aber ist das wirklich so einfach?
Und wenn es keine Klammern gibt, was mach ich dann?
Liebe Grüße Lucie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Lucie!
(Ich hoffe, ich sage jetzt nichts Falsches, ist schon ne Weile her, als ich mich so genau damit beschäftigt habe.)
> Bsp.: [mm]\bruch{3}{(5-x)²}
[/mm]
Also, im Prinzip kannst du diesen Bruch jetzt mit der Quotientenregel ableiten. Das wäre ja dann:
(Ableitung des Zählers) * Nenner - (Ableitung des Nenners) * Zähler
und das Ganze dann durch den [mm] (Nenner)^2 [/mm] - du erinnerst dich?
So, und wenn du dir das jetzt anguckst, siehst du, dass du die Ableitung des Nenners nicht so einfach berechnen kannst. Oder wie würdest du es machen? Dafür benötigst du jetzt die Kettenregel (du könntest die Klammer natürlich auch ausmultiplizieren, aber bei größeren Termen oder Termen wo du noch Konstanten oder so drin hast, geht das nicht so gut - aber zur Probe kannst du es ja auch versuchen).
> Also erstmal weiß ich jetzt nicht mehr wann ich
> quotientenregel und wann die Kettenregel anwende
Also die Quotientenregel kannst du eigentlich nur anwenden, wenn du einen Quotient, also einen Bruch hast. Die Kettenregel kannst du immer anwenden, wenn du eine Verkettung von Funktionen hast, also sozusagen eine Funktion in einer anderen. (Oder anders ausgedrückt: du hast zwei Funktionen, aber um die zweite ausführen zu können, musst du erst die erste ausgeführt haben.)
Vielleicht probiere ich es mal mit einem einfachen Beispiel:
[mm] f(x)=(x+1)^2
[/mm]
Die erste Funktion ist (x+1) - eine ganz normale lineare Funktion. Die zweite Funktion kannst du erst ausführen (z. B. wenn du Funktionswerte ausrechnen möchtest), wenn du (x+1) berechnet hast. Denn die zweite Funktion hängt von diesem "Ergebnis" ab - sie ist [mm] y^2 [/mm] (also eine quadratische Funktion). Hierbei ist jetzt aber y=(x+1). So weit klar?
Um jetzt die Ableitung von dieser Funktion zu berechnen, benutzt du die Kettenregel - also innere Ableitung mal äußere Ableitung. Die innere Ableitung ist die Ableitung der inneren Funktion, also hier die Ableitung von (x+1) und das wäre 1. Die äußere Ableitung ist die Ableitung der äußeren Funktion (also innere Funktion ist die erste, äußere die zweite Funktion), also die Ableitung von [mm] y^2. [/mm] Die Ableitung von [mm] y^2 [/mm] ist bekanntlicherweise 2y, und da das y=(x+1), ist die äußere Ableitung also 2(x+1).
Also wäre f'(x)=2(x+1)*1=2(x+1) (setze es einfach in die "Kettenregel" ein!). (wenn du zur Probe die Klammer der Funktion auflöst, erhältst du [mm] x^2+2x+1, [/mm] und wenn du das jetzt ableitest, bekommst du als Ableitung 2x+2 heraus, das ich das Gleiche, was wir mit der Kettenregel berechnet haben)
Beispiel verstanden?
Dann jetzt nochmal zu deinem Bruch:
[mm] f(x)=\bruch{3}{(5-x)²}
[/mm]
Die Ableitung des Nenners ist also 2(5-x)*(-1) (denn die innere Ableitung ist -1; den Rest genauso wie oben). Die Ableitung des Zählers ist gleich 0, du kannst dir also den Teil "Ableitung des Zählers mal Nenner" sparen, also setzt du Folgendes in die Quotientenregel ein:
[mm] f'(x)=\bruch{-3*[2*(5-x)(-1)]}{(5-x)^4} [/mm] - und fertig ist die Ableitung, allerdings solltest du den Zähler noch etwas vereinfachen, also z. B. zu 6(5-x), dann kannst du sogar noch kürzen.
und das
> mit der inneren und äußeren Funktion hab ich leider auch
> nicht verstanden!
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> Bsp.: [mm]\bruch{3}{(5-x)²}
[/mm]
>
> nehm ich jetzt nicht einfach die Quotientenregel?
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> so wie ich das verstanden hab, würde man immer das was
> innerhalb einer Klammer steht als innere Funktion ansehen
> und das außerhalb als äußere, aber ist das wirklich so
> einfach?
> Und wenn es keine Klammern gibt, was mach ich dann?
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> Liebe Grüße Lucie
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Lucie |
Vielen lieben Dank für eure Erklärungen, haben mir sehr geholfen!
Prima, wie das hier alles funktioniert!
Gute Nacht, genug für heute mit Mathe
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Quotientenregel