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Forum "Differenzialrechnung" - Kettenregel
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Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Sa 26.04.2008
Autor: AbraxasRishi

Aufgabe
f(x) = [mm] x^3*\wurzel{x+27}[/mm]

Löse mithilfe der Produktregel und eingeschränkten Kettenregel.

Hallo!

Habe Probleme mit dieser Aufgabe. Kann zwar sowohl Prudukt als auch Kettenregel getrennt anwenden, scheinbar bereitet mir die Kombination aber noch Schwierigkeiten.

Bin folgendermaßen vorgegangen:

Ableitung:

[mm] \wurzel{x+27}= 0,5(x+27)^-^0^,^5[/mm]

und

[mm] x^3 [/mm] = [mm] 3x^2 [/mm]

weiter mit der Produktregel:

f'(x) =  [mm] 0,5(x+27)^-^0^,^5*x^3+3x^2(x+27)^0^,^5[/mm]

Ergebniss sollte aber f(x) = [mm] x^2*\wurzel{x+27}*(\bruch{1}{2(x+27)}+3)[/mm]  sein.

Könnte mir bitte jemand schrittweise erklären wie man zu diesem Ergebniss kommt?

Bei einer weiteren Rechnung f(x) = [mm] \wurzel{x+6}*\wurzel{3x+8}[/mm]  komme ich ebenfalls nicht weiter.
Könnte ich in diesem Fall nicht einfach die Außdrücke unter den Wurzeln ausmultiplizieren, und den erhaltenen Außdruck ableiten?( f'(x) = 6x +26)

Wenn ich getrennt nach der Produktregel ableite erhalte ich f'(x)= [mm] 0,5(x+6)^-^0^,^5*(3x+8)^0^,^5+1,5(3x+8)^-^0^,^5*(x+6)^0^,^5 [/mm] und nicht wie angegeben:

f(x) = [mm]\bruch{\wurzel{x+6}*\wurzel{3x+8}}{2}(\bruch{1}{x+6}+\bruch{3}{3x+8})[/mm]


Vielen Dank im Voraus!

Gruß

Angelika


        
Bezug
Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Sa 26.04.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Angelika,

> f(x) = [mm]x^3*\wurzel{x+27}[/mm]
>  
> Löse mithilfe der Produktregel und eingeschränkten
> Kettenregel.
>  Hallo!
>  
> Habe Probleme mit dieser Aufgabe. Kann zwar sowohl Prudukt
> als auch Kettenregel getrennt anwenden, scheinbar bereitet
> mir die Kombination aber noch Schwierigkeiten.
>  
> Bin folgendermaßen vorgegangen:
>  
> Ableitung:
>  
> [mm]\wurzel{x+27}= 0,5(x+27)^-^0^,^5[/mm] [ok]

Kleiner Tipp: schreibe die Exponenten in geschweifte Klammern { }

So ergibt etwa (x+27)^{-0,5} dies: [mm] $(x+27)^{-0,5}$ [/mm]

>
> und
>  
> [mm]x^3[/mm] = [mm]3x^2[/mm] [ok]
>  
> weiter mit der Produktregel:
>  
> f'(x) =  [mm]0,5(x+27)^-^0^,^5*x^3+3x^2(x+27)^0^,^5[/mm] [ok]

perfekt!

>  
> Ergebniss sollte aber f(x) =
> [mm]x^2*\wurzel{x+27}*(\bruch{1}{2(x+27)}+3)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

  sein.

>  
> Könnte mir bitte jemand schrittweise erklären wie man zu
> diesem Ergebniss kommt?

Das ist nur zusammengefasst, erweitere die $(x+27)^{-0,5}$ auf der linken Seite mit $\blue{\sqrt{x+27}}$

Das gibt von deinem Ausdruck ausgehend: $0,5(x+27)^{-0,5}*x^3+3x^2(x+27)^{0,5}=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{\sqrt{x+27}}\cdot{}x^3+3x^2\cdot{}\sqrt{x+27}$

$=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\blue{\sqrt{x+27}}}{\sqrt{x+27}\cdot{}\blue{\sqrt{x+27}}}\cdot{}x^3+3x^2\cdot{}\sqrt{x+27}=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\sqrt{x+27}}{x+27}\cdot{}x^3+3x^2\sqrt{x+27}$

Nun kannst du $\red{x^2\sqrt{x+27}}$ ausklammern:

$=\red{x^2\sqrt{x+27}}\cdot{}\left(\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{x+27}\cdot{}x+3}\right)$

>  
> Bei einer weiteren Rechnung f(x) =
> [mm]\wurzel{x+6}*\wurzel{3x+8}[/mm]  komme ich ebenfalls nicht
> weiter.
>  Könnte ich in diesem Fall nicht einfach die Außdrücke
> unter den Wurzeln ausmultiplizieren [ok]

Das kannst du machen, dann bekommst du: [mm] $f(x)=\sqrt{(x+6)(3x+8)}=\sqrt{3x^2+26x+48}$ [/mm]

Das kannsst du dann wieder mit der Kettenregel ableiten und soltest auf dein weiter unten errechnetes Ergebnis kommen

> , und den erhaltenen
> Außdruck ableiten?( f'(x) = 6x +26) [notok]
>  
> Wenn ich getrennt nach der Produktregel ableite erhalte ich
> f'(x)=
> [mm]0,5(x+6)^-^0^,^5*(3x+8)^0^,^5+1,5(3x+8)^-^0^,^5*(x+6)^0^,^5[/mm] [daumenhoch]

Das ist richtig

> und nicht wie angegeben:
>
> f(x) =
> [mm]\bruch{\wurzel{x+6}*\wurzel{3x+8}}{2}(\bruch{1}{x+6}+\bruch{3}{3x+8})[/mm]

Das ist auch richtig und ist äquivalent zu deinem Ergebnis, du kannst dein Ergebnis wie bei der anderen Aufgabe schön zusammenfassen und solltest dann auf den obigen Ausdruck kommen


> Vielen Dank im Voraus!
>  
> Gruß
>  
> Angelika
>  


Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Kettenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:28 Sa 26.04.2008
Autor: AbraxasRishi

Danke vielmals für deine Mühe! Sehr verständlich erklärt!

Gruß

angelika

Bezug
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