Kettenregel < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Di 24.03.2009 | | Autor: | honke123 |
Hallo ich hab eine Frage zu der Kettenregel.
In der Schule haben wir die Kettenregel am Anfang so gelernt:
Exponenten vorne dran Multiplizieren Exponent aber nicht Veringern
z.b.
[mm] $2*e^0^.^5^x=e^x [/mm] $
so danach haben wir aber noch mal die Kettenregel wiederholt diesmal aber in dieser Form :
$U'(v(x)))*v'(x)$
so meine Frage ist nun welche man in welchem Fall verwendet ?
und wo die Unterschiede sind ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo honke123,
> Exponenten vorne dran Multiplizieren Exponent aber nicht
> Veringern
> z.b.
> [mm]2*e^0^.^5^x=e^x[/mm]
Welche mathematische Operation hast du hier durchgeführt? Falls das eine Ableitung sein soll, so wäre das [mm]\tfrac{\partial}{\partial x}2\cdot{}e^{0.5x}=2\cdot{}0.5\cdot{}e^{0.5x}=e^{0.5x}[/mm].
> so danach haben wir aber noch mal die Kettenregel
> wiederholt diesmal aber in dieser Form :
> [mm]U'(v(x)))*v'(x)[/mm]
>
> so meine Frage ist nun welche man in welchem Fall verwendet
> ?
> und wo die Unterschiede sind ?
Es gibt keine. Es gilt nach dem ![[]](/images/popup.gif) Kommutativgesetz: [mm](U\circ v)'(x)=U'(v(x))*v'(x)=v'(x)*U'(v(x))[/mm].
Gruß V.N.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 Di 24.03.2009 | | Autor: | honke123 |
Ja sollte ne Ableitung sein
sry hab mich verrechnet so ist es richtig:
$ [mm] 2*e^0^.^5^x=e^0^.^5^x$
[/mm]
Also bedeutet das es egal ist welche Regel ich bei der Ableitung verwende?
Die Ableitung von z.b.
[mm] $(5-3x)^4$ [/mm] wäre demnach dann [mm] $4(5-3x)^4$ [/mm] ist das richtig ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Di 24.03.2009 | | Autor: | honke123 |
Also bedeutet das es egal ist welche Regel ich bei der Ableitung verwende?
Die Ableitung von z.b.
$ [mm] (5-3x)^4 [/mm] $ wäre demnach dann $ [mm] 4(5-3x)^4 [/mm] $ ist das richtig ?
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Nein, da hast du die "Formel" falsch benutzt.
Kurz zur Korrektur deiner Ableitung:
- erst einmal kommt der Faktor 4 aus dem Exponenten nach vorne
- der Exponent wird um eins reduziert
- das ganze muss noch mit der Ableitung des in der Klammer stehenden Ausdrucks multipliziert werden (also hier mit -3).
Schlagwort-Formulierung dieser Regel ist "Innere Ableitung mal Äußere Ableitung".
Jetzt etwas detaillierter:
Die Funktion $ f(x) = [mm] (5-3x)^4 [/mm] $ setzt sich eigentlich aus 2 Funktionen zusammen. Die "innere" Funktion ist $ h(x) = 5 - 3x $ und die "äußere" Funktion ist g(z) = [mm] z^{4}.
[/mm]
Normalerweise ist es bei einer Funktion ja so, dass du "oben eine Zahl x reinsteckst" und deine Funktionsvorschrift sagt, was mit dieser Zahl gemacht wird, so dass "unten" der Funktionswert rauskommt.
In deinem Beispiel werden aber zweierlei Sachen gemacht - du steckst eine Zahl x rein und die wird zunächst mithilfe der Vorschrift der inneren Funktion verarbeitet zu 5 - 3x. Dieses "Zwischenergebnis" wird dann in die äußere Funktion reingesteckt, die den Wert, den du ihr gibst, hoch 4 nimmt, d.h. das entspricht genau der Funktion g.
So eine Situation nennt man dann Verkettung von zwei Funktionen (in diesem Fall g und h) und man benötigt dafür eine eigene Ableitungsregel, die in kurzen Worten oben schon steht (und in Formeln bereits in vorherigen Antworten).
Noch ein weiteres Beispiel:
f(x) = [mm] sin(x^{2} [/mm] +4)
Hier ist die innere Funktion [mm] x^{2} [/mm] +4 und die äußere Funktion der Sinus.
Und so kommt man dann zur Ableitung:
(die Reihenfolge ist jetzt anders als oben, spielt also keine Rolle - beides ist möglich und du solltest dir die Reihenfolge raussuchen, mit der du besser klar kommst)
1. Ableitung der inneren Funktion, also von [mm] x^{2} [/mm] +4 ist der erste Faktor, d.h. 2x
2. Ableitung der äußeren Funktion, d.h. die Ableitung vom sin, das ist der cos
3. Und das, was im cos steht, bleibt unverändert (so wie in deinem Beispiel die 5-3x in der Klammer)
Also: f'(x) = [mm] 2x*cos(x^{2} [/mm] +4)
Vielleicht ist dieses zusätzliche Beispiel auch hilfreich...
Gruß,
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Di 24.03.2009 | | Autor: | honke123 |
OK ich glaub ich habs verstanden also wäre das dann für die Funktion:
[mm] $f(x)=(5-3x)^4$
[/mm]
[mm] $f'(x)=3*(-3)(5-3x)^3=-9(5-3x)^3$
[/mm]
Und nach Klammer auflösen dann :
[mm] $f'(x)=-9(5-3x)^3$
[/mm]
[mm] $f'(x)=-45^3+27x^3$
[/mm]
???
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Hallo
der Exponent ist 4, somit hast du den Faktor 4
[mm] f'(x)=4*(-3)*(5-3x)^{3}
[/mm]
[mm] f'(x)=-12*(5-3x)^{3}
[/mm]
beim Auflösen der Klammer [mm] (5-3x)^{3} [/mm] hast du aber einen riesen Bock geschossen:
1. Möglichkeit: [mm] (5-3x)^{2}*(5-3x) [/mm] wende zunächst auf [mm] (5-3x)^{2} [/mm] eine Binomische Formel an
2. Möglichkeit: verwende das Pascalsche Dreieck
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Di 24.03.2009 | | Autor: | honke123 |
OK danke so das wären dann ja :
[mm] $(5-3x)^2(5-3x)$
[/mm]
[mm] $(5-3x)^2$ [/mm] Bin. Formel
[mm] $(25-30x+9x^2)(5-3x)$ [/mm]
[mm] $125-75x-150x+90x^2+45^2-27x^3=-27x^3+135x^2-225X+125$
[/mm]
ist das soweit Richtig ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Di 24.03.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Na klar, beachte aber noch den Faktor -12, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Di 24.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja sollte ne Ableitung sein
> sry hab mich verrechnet so ist es richtig:
>
> [mm]2*e^0^.^5^x=e^0^.^5^x[/mm]
leider nein - auch das ist falsch-, denn das darfst Du so nicht schreiben. Du hast vergessen, eine Notation zu benutzen, dass rechts die Ableitung der linken Seite steht. Du kannst schreiben:
[mm] $\bullet$ [/mm] Für [mm] $f(x):=2*e^{0.5x}$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] gilt [mm] $f'(x)=e^{0.5x}$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$).
[/mm]
oder
[mm] $\bullet$ [/mm] Die Ableitung der Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto f(x):=2e^{0.5x}$ [/mm] ist die Funktion [mm] $f':\IR \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto f'(x)=e^{0.5x}$
[/mm]
oder, wie schon vorgeschlagen wurde
[mm] $\bullet$ $\frac{d}{dx} (2e^{0.5x})=e^{0.5x}\,.$
[/mm]
oder, wie man es meist in der Schule notiert, und wobei auch klar ist, wie es zu lesen ist:
[mm] $\bullet$ $(2e^{0.5x})'=e^{0.5x}\,.$
[/mm]
Aber wenn Du den Strich links vergißt, dann ist [mm] $2e^{0.5x}=e^{0.5x}$ [/mm] gleichwertig zu [mm] $2=1\,,$ [/mm] was niemals richtig ist.
Gruß,
Marcel
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