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| Aufgabe | Man berechne für folgende Funktionen die Ableitung nach t einmal direkt (also t zuerst einsetze und ableiten) und dann via Kettenregel:
a) [mm] f(x,y)=\wurzel{xy} [/mm] , [mm] x(t)=e^{t} [/mm] , [mm] y(t)=e^{-t} [/mm] |
hallo liebe forumfreunde,leider komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe:
mein Ansatz:
direkt eingesetzt: [mm] F(t)=\wurzel{e^{t}*e^{-t}}=(e^{t}*e^{-t})^{0,5}
[/mm]
[mm] F'(t)=0,5(e^{t}*e^{-t})^{-0,5}* [/mm] 0( da [mm] e^{t}*e^{-t}=1 [/mm] und die ableitung von 1 ist =0,also kommt als Gesamtergebnis: F'(t)=0.
via Kettenregel:
[mm] \bruch{dF(x,y)}{dt}=F_{x}(x,y)\bruch{dx}{dt}+F_{y}(x,y)\bruch{dy}{dt}
[/mm]
[mm] \bruch{dF(x,y)}{dt}=0,5(xy)^{-0,5}*\bruch{d(e^{t})}{dt}+0,5(xy)^{-0,5}*\bruch{d(e^{-t})}{dt}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 0,5(e^{t}*e^{-t})^{-0,5}*e^{t}*e^{-t}+0,5(e^{t}*e^{-t})^{-0,5}*e^{t}*e^{-t}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 0,5 [mm] e^{-0,5}*e^{0}+0,5e^{-0,5}*e^{0}
[/mm]
=0,6065
wo ist jetzt mein Fehler ,denn auf beiden wegen müsste ja das gleiche Ergebnis rauskommen.
würd mich über jede Hilfe freuen.
vielen dank im voraus.
mfg
danyal
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Hallo danyal,
fast gut.
> Man berechne für folgende Funktionen die Ableitung nach t
> einmal direkt (also t zuerst einsetze und ableiten) und
> dann via Kettenregel:
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> a) [mm]f(x,y)=\wurzel{xy}[/mm] , [mm]x(t)=e^{t}[/mm] , [mm]y(t)=e^{-t}[/mm]
> hallo liebe forumfreunde,leider komme ich bei folgender
> Aufgabe nicht weiter,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe:
>
> mein Ansatz:
>
> direkt eingesetzt:
> [mm]F(t)=\wurzel{e^{t}*e^{-t}}=(e^{t}*e^{-t})^{0,5}[/mm]
>
> [mm]F'(t)=0,5(e^{t}*e^{-t})^{-0,5}*[/mm] 0( da [mm]e^{t}*e^{-t}=1[/mm] und
> die ableitung von 1 ist =0,also kommt als Gesamtergebnis:
> F'(t)=0.
So ist es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> via Kettenregel:
>
> [mm]\bruch{dF(x,y)}{dt}=F_{x}(x,y)\bruch{dx}{dt}+F_{y}(x,y)\bruch{dy}{dt}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dF(x,y)}{dt}=0,5(xy)^{-0,5}*\bruch{d(e^{t})}{dt}+0,5(xy)^{-0,5}*\bruch{d(e^{-t})}{dt}[/mm]
Ein Tipp: [mm] F_x\not=F_y. [/mm] Dir fehlt die innere Ableitung.
> [mm]\Rightarrow 0,5(e^{t}*e^{-t})^{-0,5}*e^{t}*e^{-t}+0,5(e^{t}*e^{-t})^{-0,5}*e^{t}*e^{-t}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0,5 [mm]e^{-0,5}*e^{0}+0,5e^{-0,5}*e^{0}[/mm]
> =0,6065
>
> wo ist jetzt mein Fehler ,denn auf beiden wegen müsste ja
> das gleiche Ergebnis rauskommen.
Da hast Du Recht.
Grüße
reverend
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vielen dank für die schnelle Antwort
> Hallo danyal,
>
> fast gut.
>
> > Man berechne für folgende Funktionen die Ableitung nach t
> > einmal direkt (also t zuerst einsetze und ableiten) und
> > dann via Kettenregel:
> >
> > a) [mm]f(x,y)=\wurzel{xy}[/mm] , [mm]x(t)=e^{t}[/mm] , [mm]y(t)=e^{-t}[/mm]
> > hallo liebe forumfreunde,leider komme ich bei folgender
> > Aufgabe nicht weiter,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe:
> >
> > mein Ansatz:
> >
> > direkt eingesetzt:
> > [mm]F(t)=\wurzel{e^{t}*e^{-t}}=(e^{t}*e^{-t})^{0,5}[/mm]
> >
> > [mm]F'(t)=0,5(e^{t}*e^{-t})^{-0,5}*[/mm] 0( da [mm]e^{t}*e^{-t}=1[/mm] und
> > die ableitung von 1 ist =0,also kommt als Gesamtergebnis:
> > F'(t)=0.
>
> So ist es.
>
> > via Kettenregel:
> >
> >
> [mm]\bruch{dF(x,y)}{dt}=F_{x}(x,y)\bruch{dx}{dt}+F_{y}(x,y)\bruch{dy}{dt}[/mm]
> >
> >
> [mm]\bruch{dF(x,y)}{dt}=0,5(xy)^{-0,5}*\bruch{d(e^{t})}{dt}+0,5(xy)^{-0,5}*\bruch{d(e^{-t})}{dt}[/mm]
>
> Ein Tipp: [mm]F_x\not=F_y.[/mm] Dir fehlt die innere Ableitung.
das stimmt,da habe Ichs vergessen zu schreiben,aber eine Zeile später habe Ichs ja geschrieben:
hier:
[mm] \Rightarrow 0,5(e^{t}*e^{-t})^{-0,5}*e^{t}*e^{-t}+0,5(e^{t}*e^{-t})^{-0,5}*e^{t}*e^{-t}
[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [/mm] 0,5 [mm]e^{-0,5}*e^{0}+0,5e^{-0,5}*e^{0}[/mm]
=0,6065
und ich weiß immer noch nicht wo mein Fehler ist.
> > das gleiche Ergebnis rauskommen.
>
> Da hast Du Recht.
>
> Grüße
> reverend
>
würd mich über jede Hilfe freuen.
mfg
danyal
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Hallo nochmal,
ok, erwischt. Da habe ich nicht gründlich bis zu Ende gelesen.
> [mm]\bruch{dF(x,y)}{dt}=0,5(xy)^{-0,5}*\bruch{d(e^{t})}{dt}+0,5(xy)^{-0,5}*\bruch{d(e^{-t})}{dt}[/mm]
> >
> > Ein Tipp: [mm]F_x\not=F_y.[/mm] Dir fehlt die innere Ableitung.
>
> das stimmt,da habe Ichs vergessen zu schreiben,aber eine
> Zeile später habe Ichs ja geschrieben:
>
> hier:
> [mm]\Rightarrow 0,5(e^{t}*e^{-t})^{-0,5}*e^{t}*e^{-t}+0,5(e^{t}*e^{-t})^{-0,5}*e^{t}*e^{-t}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm][/mm] 0,5 [mm]e^{-0,5}*e^{0}+0,5e^{-0,5}*e^{0}[/mm]
> =0,6065
>
> und ich weiß immer noch nicht wo mein Fehler ist.
Na schön... Deine Ableitung [mm] \bruch{e^{-t}}{dt} [/mm] stimmt nicht.
Auch da fehlt die innere Ableitung, die Dir das ersehnte Minuszeichen bringt. Dann heben sich die Terme weg.
Grüße
reverend
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ok vielen dank für die schnelle Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Mo 03.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo mathegenie,
> ok vielen dank für die schnelle Hilfe.
Gern geschehen. Das ist ja Sinn dieses Forums. Es ist zwar nicht immer zu schaffen, aber wir versuchen es. 
Viel Erfolg weiterhin,
reverend
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