Kettenregel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Di 22.11.2011 | | Autor: | thadod |
Sehr geehrter Matheraum...
Leider fühle ich mich gerade von einer Aufgabe so richtig erschlagen, die da (leider) lautet:
Das YUKAWA - Potential [mm] P_Y: \IR^3 \to \IR, P_Y(\vec{x})=\bruch{exp(-m|\vec{x}|)}{|\vec{x}|} [/mm] mit m>0 modelliert für [mm] |\vec{x}|>0 [/mm] eine Wechselwirkung mittels massebehafteter Austauschteilchen.
Der negative Gradient [mm] \vec{F}=-grad_{\vec{x}}P [/mm] eines Potentials [mm] P:\IR^3 \to \IR [/mm] kann als Kraft interopretiert werden.
Berechne [mm] -grad_{\vec{x}}P_Y
[/mm]
Ich muss also das YUKAWA - Potential ableiten. Doch leider bin ich mit der Aufgabenstellung so grade komplett überfordert.
Bisher hatte ich mir für Ableitungen mit Beträgen immer eine Fallunterscheidung gemacht. Macht das hier Sinn???
Ist die Aufgabe leichetr als gedacht und ich muss einfach nach der Quotientenregel ableiten???
Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.....
mfg thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Di 22.11.2011 | | Autor: | Fyrus |
Ich vermute mal der Betrag meint hier die euklidische Norm:
[mm] \parallel \vec{x} \parallel_{2}= [x^{2}_{1} [/mm] + [mm] x^{2}_{2}+ x^{2}_{3}]^\bruch{1}{2}
[/mm]
Hoffe der Tip hilft dir ;).
Mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Di 22.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo... Sofern das mit der euklidischen Norm stimmen sollte, müsste ich ja für [mm] P_Y: \IR^3 \to \IR, P_Y(\vec{x})=\bruch{exp(-m|\vec{x}|)}{|\vec{x}|} [/mm] folgendes erhalten:
[mm] P_Y: \IR^3 \to \IR, P_Y(\vec{x})=\bruch{exp(-m([x_1^2+x^{2}_{2}+ x^{2}_{3}]^\bruch{1}{2})}{[x_1^2+x^{2}_{2}+ x^{2}_{3}]^\bruch{1}{2}}
[/mm]
Euklidische Norm macht ja eigentlich Sinn. Zumindest, wenn man unserem Skript glauben schenken darf :)
auf die drei Komponenten, also sprich auf [mm] x_1^2+x_2^2+x_3^2 [/mm] kommst du ja vermutlich, weil [mm] P_Y: \IR^3 \to \IR, [/mm] also wegen [mm] \IR^3 [/mm] richtig?
Warum benutzt du aber 2 Betragsstriche??? Wird die Euklidische Norm nicht wie folgt definiert: [mm] |x|=\wurzel{x^2}???
[/mm]
mfg thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Di 22.11.2011 | | Autor: | Fyrus |
jo auf 3 Komponenten komme ich wegen [mm] \IR^{3}.
[/mm]
Naja meistens schreibt man inner Physik oft aus Fauleheitsgrünen nur einen Strich und meint damit die euklidische Norm.
Aber um Normen sozusagen ein eigenes Formelzeichen zu geben und sie somit besser vom Betrag unterscheiden zu können hat man sich mal darauf geeinigt 2 Striche bei einer Norm zu machen.
Denke mal 2 striche hat man genommen um das ganze so ähnlich wie den Betrag ausehen zu lassen.Es gibt ja auch Normen die eben nicht die Länge eines Vektors angeben wie zB die Einsnorm :
[mm] \parallel \vec{x} \parallel_{1} [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^{n} |x_{i}|
[/mm]
von daher halte ich ein anderes Formelzeichen auch für sinnig^^.
Die eigentliche Defintion der Euklidischen Norm ist:
[mm] \parallel \vec{x} \parallel_{2} :=\wurzel{< \vec{x} , \vec{x} >}
[/mm]
Wobei das Skalarprodukt unter der wurzel halt auf
[mm] \summe_{i=1}^{3} x_{i}^2 [/mm] hinausläuft.
Falls du noch mehr zum Thema Normen wissen möchtest empfehle ich Wikipedia--->Normierter Raum. Dort findet man eigentlich eine recht gute Zusammenfassung um sich einen Überblick über die Sache zu verschaffen.
Mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Di 22.11.2011 | | Autor: | thadod |
Danke für deine Hilfe.
Dann sollten die Ableitungen ja doch nicht so kompliziert werden. Wie sieht es eigentlich aus mit den einzelnen komponenten? Ich werde das ja jetzt jeweils einmal nach [mm] x_1, [/mm] einmal nach [mm] x_2, [/mm] einmal nach [mm] x_3 [/mm] ableiten müssen oder?
Also insgesamt 3 Ableitungen...
MfG thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Di 22.11.2011 | | Autor: | chrisno |
Auf gehts. Überlege: eigentlich musst Du nur einmal die Ableitung ausrechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Mi 23.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo und danke...
Also ich schreibe nun folgendes:
[mm] P_Y: \IR^3 \to \IR, P_Y(\vec{x})=\bruch{exp(-m|\vec{x}|)}{|\vec{x}|} [/mm] ist gegeben, wobei es sich bei [mm] |\vec{x}| [/mm] um die euklidische Norm handelt.
Es ergibt sich somit: [mm] |\vec{x}|=[x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Man kann daher auch schreiben:
[mm] P_Y: \IR^3 \to \IR, P_Y(\vec{x})=\bruch{e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})}}{[x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
Ich leite nun zunächst den Zähler nach [mm] x_1 [/mm] ab:
[mm] \bruch{{-m \cdot x_1 \cdot e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})}}}{[x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
Ich leite anschließend den Nenner nach [mm] x_1 [/mm] ab:
[mm] \bruch{x_1}{[x_1^2+x_2^2+x_3^3]^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
Mit Hilfe der Quotientenregel ergibt sich anschließend:
[mm] (\bruch{{-m \cdot x_1 \cdot e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})}}}{[x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}}} \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^3]^{\bruch{1}{2}}-\bruch{x_1 \cdot e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})}}{[x_1^2+x_2^2+x_3^3]^{\bruch{1}{2}}}) \cdot \bruch{1}{[x_1^2+x_2^2+x_3^2]}=-{\bruch{x_1 \cdot e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})} \cdot (m \cdot (x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{1}{2}}+1)}{[x_1^2+x_2^2+x_3^3]^{\bruch{3}{2}}}}
[/mm]
Und das dann noch für [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3
[/mm]
Ich erhalte also insgesamt:::
[mm] grad_{x_1}P_Y=-{\bruch{x_1 \cdot e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})} \cdot (m \cdot (x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{1}{2}}+1)}{[x_1^2+x_2^2+x_3^3]^{\bruch{3}{2}}}}
[/mm]
[mm] grad_{x_2}P_Y=-{\bruch{x_2 \cdot e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})} \cdot (m \cdot (x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{1}{2}}+1)}{[x_1^2+x_2^2+x_3^3]^{\bruch{3}{2}}}}
[/mm]
[mm] grad_{x_3}P_Y=-{\bruch{x_3 \cdot e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})} \cdot (m \cdot (x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{1}{2}}+1)}{[x_1^2+x_2^2+x_3^3]^{\bruch{3}{2}}}}
[/mm]
und somit [mm] -grad_{\vec{x}}P_Y={\bruch{x_1 \cdot e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})} \cdot (m \cdot (x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{1}{2}}+1)}{[x_1^2+x_2^2+x_3^3]^{\bruch{3}{2}}}}+{\bruch{x_2 \cdot e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})} \cdot (m \cdot (x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{1}{2}}+1)}{[x_1^2+x_2^2+x_3^3]^{\bruch{3}{2}}}}+{\bruch{x_3 \cdot e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})} \cdot (m \cdot (x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{1}{2}}+1)}{[x_1^2+x_2^2+x_3^3]^{\bruch{3}{2}}}}
[/mm]
Das sieht für mich dann aber eher nach Beschäftigungstherapie als nach dem sinnvollen Lösen einer Aufgabe aus oder???
mfg thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Mi 23.11.2011 | | Autor: | chrisno |
> Hallo und danke...
>
> Also ich schreibe nun folgendes:
>
> [mm]P_Y: \IR^3 \to \IR, P_Y(\vec{x})=\bruch{exp(-m|\vec{x}|)}{|\vec{x}|}[/mm]
> ist gegeben, wobei es sich bei [mm]|\vec{x}|[/mm] um die euklidische
> Norm handelt.
>
> Es ergibt sich somit:
> [mm]|\vec{x}|=[x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Man kann daher auch schreiben:
>
> [mm]P_Y: \IR^3 \to \IR, P_Y(\vec{x})=\bruch{e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})}}{[x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
>
> Ich leite nun zunächst den Zähler nach [mm]x_1[/mm] ab:
> [mm]\bruch{{-m \cdot x_1 \cdot e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})}}}{[x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich leite anschließend den Nenner nach [mm]x_1[/mm] ab:
> [mm]\bruch{x_1}{[x_1^2+x_2^2+x_3^3]^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
bis auf einen Tippfehler ok.
>
> Mit Hilfe der Quotientenregel ergibt sich anschließend:
>
> [mm](\bruch{{-m \cdot x_1 \cdot e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})}}}{[x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}}} \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^3]^{\bruch{1}{2}}-\bruch{x_1 \cdot e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})}}{[x_1^2+x_2^2+x_3^3]^{\bruch{1}{2}}}) \cdot \bruch{1}{[x_1^2+x_2^2+x_3^2]}=-{\bruch{x_1 \cdot e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})} \cdot (m \cdot (x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{1}{2}}+1)}{[x_1^2+x_2^2+x_3^3]^{\bruch{3}{2}}}}[/mm]
>
Das glaube ich Dir nicht. Du schreibst Quotientenregel, was da steht sieht eher nach Produktregel aus. Dann müsste beim ersten Term der Nenner auch als Nenner stehen bleiben.
> Und das dann noch für [mm]x_2[/mm] und [mm]x_3[/mm]
>
> Ich erhalte also insgesamt:::
>
> [mm]grad_{x_1}P_Y=-{\bruch{x_1 \cdot e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})} \cdot (m \cdot (x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{1}{2}}+1)}{[x_1^2+x_2^2+x_3^3]^{\bruch{3}{2}}}}[/mm]
>
> [mm]grad_{x_2}P_Y=-{\bruch{x_2 \cdot e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})} \cdot (m \cdot (x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{1}{2}}+1)}{[x_1^2+x_2^2+x_3^3]^{\bruch{3}{2}}}}[/mm]
>
> [mm]grad_{x_3}P_Y=-{\bruch{x_3 \cdot e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})} \cdot (m \cdot (x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{1}{2}}+1)}{[x_1^2+x_2^2+x_3^3]^{\bruch{3}{2}}}}[/mm]
>
> und somit [mm]-grad_{\vec{x}}P_Y={\bruch{x_1 \cdot e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})} \cdot (m \cdot (x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{1}{2}}+1)}{[x_1^2+x_2^2+x_3^3]^{\bruch{3}{2}}}}+{\bruch{x_2 \cdot e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})} \cdot (m \cdot (x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{1}{2}}+1)}{[x_1^2+x_2^2+x_3^3]^{\bruch{3}{2}}}}+{\bruch{x_3 \cdot e^{(-m \cdot [x_1^2+x_2^2+x_3^2]^{\bruch{1}{2}})} \cdot (m \cdot (x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{1}{2}}+1)}{[x_1^2+x_2^2+x_3^3]^{\bruch{3}{2}}}}[/mm]
>
> Das sieht für mich dann aber eher nach
> Beschäftigungstherapie als nach dem sinnvollen Lösen
> einer Aufgabe aus oder???
Zum einen ist es nicht so schlimm, sich da durchzuarbeiten. Du kannst beim Gradienten noch eine Menge ausklammern. Nachdem Du einmal [mm]|\vec{x}|[/mm] abgeleitet hast, kennst Du nun das Ergebnis.
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