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Forum "Schul-Analysis" - Kettenregeln u Ableitungen
Kettenregeln u Ableitungen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Kettenregeln u Ableitungen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:44 So 09.01.2005
Autor: svenny

hallo ihr lieben!

ich muss in 2wochen ein fachreferat fertig haben, habe aber noch keine ahnung über das thema!!!habe einige informationen doch leider verstehe ich sie nicht!! kann mir jemand kurz und verständlich erklären, was eine "VERKETTETE FUNKTION" ist, die allgemeinen regeln erklären und vielleicht ein kurzes beispiel ( an dem man die allgemeinen kettenregeln sieht) dazu geben!!

wär super lieb von euch!!

ciao svenny

P.s. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Kettenregeln u Ableitungen: Ansätze / Beispiele
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:41 So 09.01.2005
Autor: Loddar

Hallo svenny,

auch Dir hier ein [willkommenmr] !!

Etwas allgemeines zum Thema findest Du beim Thema MBKettenregel.

In Worten formuliert, heißt die Kettenregel für verkettete Funktionen:
"äußere Ableitung" × "innere Ableitung".

Dabei gelten natürlich auch immer noch die anderen MBAbleitungsregeln ...


Gerne kann ich hier auch noch ein weiteres Beispiel zur Verdeutlichung anführen:

[1] $f(x) = [mm] (2-3x^2)^3$ [/mm]
Es handelt sich hier um eine verkettete Funktion mit $h(x) = [mm] 2-3x^2$ [/mm] sowie $g(x) = [mm] [h(x)]^3$ [/mm]

In diesem Fall könntest Du die Klammer auch ausmultiplizieren und anschließend herkömmlich ableiten. Dabei solltest Du auf das gleiche Ergebnis kommen wie mit der Kettenregel.
Der Aufwand mit dieser Methode (ausmultiplizieren) wäre aber viel zu groß. Zudem gibt es viele Funktionen, wo diese Methode nicht möglich ist.

Zurück zum Beispiel...

innere Ableitung:
$h(x) =  [mm] 2-3x^2$ $\Rightarrow$ [/mm]     $h'(x) = (-3) * 2 * [mm] x^1 [/mm] = -6x$

äußere Ableitung:
$g(x) = [mm] (...)^3$ $\Rightarrow$ [/mm]     $g'(x) = 3 * [mm] (...)^2$ [/mm]
Bei der äußeren Ableitung ist uns zunächst völlig egal, was in der Klammer steht. Wir bilden zunächst ganz "normal" die Ableitung.
Das was in der Klammer steht (hier: [mm] $2-3x^2$), [/mm] berücksichtigen wir erst mit der inneren Ableitung (in der Klammer könnte auch "APFELBAUM" stehen :-)).

Denn nun wenden wir die Kettenregel an:
$f'(x) = [mm] \underbrace{3 * (...)^2}_{=aussere Abl.} [/mm]  *  [mm] \underbrace{(-6x)}_{=innere Abl.} [/mm] = 3 * [mm] (2-3x^2)^2 [/mm] * (-6x) = -18x * [mm] (2-3x^2)^2$ [/mm]


[2] $f(x) = [mm] e^{3x}$ [/mm]
Wiederum verkettete Funktion mit $h(x) = 3x$ sowie $g(x) = [mm] e^{h(x)}$. [/mm]

Der (umständliche) Weg des Ausmultiplizierens funktioniert hier nicht!

innere Ableitung:
$h(x) =  3x$     [mm] $\Rightarrow$ [/mm]     $h'(x) = 3$

äußere Ableitung:
$g(x) = [mm] e^{(...)}$ $\Rightarrow$ [/mm]     $g'(x) = [mm] e^{(...)}$, [/mm] da [mm] $(e^x)' [/mm] = [mm] e^x$ [/mm]

Kettenregel:
$f'(x) = [mm] \underbrace{e^{(...)}}_{=aussere Abl.} [/mm]  *  [mm] \underbrace{3}_{=innere Abl.} [/mm] = [mm] e^{3x} [/mm] * 3 = 3 * [mm] e^{3x}$ [/mm]



Ich hoffe, wir konnten etwas zu Deiner Klärung beitragen ...

Loddar

Bezug
                
Bezug
Kettenregeln u Ableitungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:25 So 09.01.2005
Autor: svenny

danke das bringt mich schon um ein ganzes stück weiter!!!!

lieben gruß svenja
Bezug
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