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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Di 20.10.2009 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | GxG [mm] \to [/mm] G mit (g,h) [mm] \mapsto ghg^{-1} [/mm] ist eine Gruppenoperation von G auf G. Man nennt sie Konjugationsoperation. Die Bahnen dieser Gruppenoperation heissen Konjugationsklassen. Den Stabilisator eines Elementes x [mm] \in [/mm] G nennt man Zentralisator von x und bezeichnet ihn mit Z(x).
(c) Leiten Sie aus der Bahnformel die Klassenformel für endliche Gruppen G ab:
|G| = [mm] \sum_{[x]\in X_{1}}{[G:Z(x)]} [/mm] = |Z| + [mm] \sum_{[x]\in X_{2}}{[G:Z(x)]}
[/mm]
Dabei bezeichnet [mm] X_{1} [/mm] die Menge der Konjugationsklassen von G, [mm] X_{2} [/mm] die Konjugationsklassen von G mit mehr als einem Element und x jeweils einen Repräsentanten seiner Konjugationsklasse, bezeichnet mit [x] |
Guten Tag alle :)
Ich habe vor dieser Aufgabe schon bewiesen, dass es sich um eine Gruppenoperation handelt.. das schon mal vorweg.
Ich komme zu dieser Aufgabe, und zeige zuerst die erste, dann die zweite Gleichheit:
(1): |G| = [mm] \sum_{[x]\in X_{1}}{[G:Z(x)]}
[/mm]
Nun, ich weiss ja: |G| = [mm] [G:G_{x}]|G_{x}| [/mm] = [mm] |B_{x}||G_{x}| [/mm] und [G:Z(x)] = [mm] [G:G_{x}]
[/mm]
Jetzt ist [mm] [G:G_{x}] [/mm] = [mm] |B_{x}|
[/mm]
Nach obiger Definition der Bahnen dieser Operation ist ja:
[mm] B_{x} [/mm] = [x] [mm] \Rightarrow |B_{x}| [/mm] = |[x]|
|G| = [mm] |B_{1}| [/mm] + ... + [mm] |B_{k}| [/mm] = [mm] |[x_{1}| [/mm] + ... + [mm] |[x_{k}]| [/mm] für Bahnen [mm] B_{1},...,B_{k}
[/mm]
Da [mm] |B_{x}| [/mm] = [mm] [G:G_{x}] \Rightarrow [/mm] |G| = [mm] \sum_{[x]\in X_{1}}{[G:G_{x}]} [/mm] = [mm] \sum_{[x]\in X_{1}}{[G:Z(x)]}
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(2): [mm] \sum_{[x]\in X_{1}}{[G:Z(x)]} [/mm] = |Z| + [mm] \sum_{[x]\in X_{2}}{[G:Z(x)]}
[/mm]
Nachdem man sich klar gemacht hat, was diese Gleichheit bedeutet, kann man den Beweis auf das folgende reduzieren:
Zu zeigen: |Z| = [mm] \sum_{[x]\in (X_{1}\X_{2})}{[G:Z(x)]} [/mm] = [mm] \sum_{[x]\in (X_{1}\backslash X_{2})}{|[x]|} [/mm] = [mm] |(X_{1}\backslash X_{2})|
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] |Z| = [mm] |(X_{1}\backslash X_{2})|
[/mm]
Und ich bin entweder zu lange schon dran, oder ich übersehe etwas.. auf jeden Fall will mir nicht einfallen, wie ich diese Gleichheit zeigen soll!
Kann mir jemand helfen? Ich wäre sehr dankbar :)
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 Mi 21.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Amaro!
> GxG [mm]\to[/mm] G mit (g,h) [mm]\mapsto ghg^{-1}[/mm] ist eine
> Gruppenoperation von G auf G. Man nennt sie
> Konjugationsoperation. Die Bahnen dieser Gruppenoperation
> heissen Konjugationsklassen. Den Stabilisator eines
> Elementes x [mm]\in[/mm] G nennt man Zentralisator von x und
> bezeichnet ihn mit Z(x).
>
> (c) Leiten Sie aus der Bahnformel die Klassenformel für
> endliche Gruppen G ab:
>
> |G| = [mm]\sum_{[x]\in X_{1}}{[G:Z(x)]}[/mm] = |Z| + [mm]\sum_{[x]\in X_{2}}{[G:Z(x)]}[/mm]
>
> Dabei bezeichnet [mm]X_{1}[/mm] die Menge der Konjugationsklassen
> von G, [mm]X_{2}[/mm] die Konjugationsklassen von G mit mehr als
> einem Element und x jeweils einen Repräsentanten seiner
> Konjugationsklasse, bezeichnet mit [x]
> Guten Tag alle :)
>
> Ich habe vor dieser Aufgabe schon bewiesen, dass es sich um
> eine Gruppenoperation handelt.. das schon mal vorweg.
>
> Ich komme zu dieser Aufgabe, und zeige zuerst die erste,
> dann die zweite Gleichheit:
>
> (1): |G| = [mm]\sum_{[x]\in X_{1}}{[G:Z(x)]}[/mm]
>
> Nun, ich weiss ja: |G| = [mm][G:G_{x}]|G_{x}|[/mm] = [mm]|B_{x}||G_{x}|[/mm]
> und [G:Z(x)] = [mm][G:G_{x}][/mm]
> Jetzt ist [mm][G:G_{x}][/mm] = [mm]|B_{x}|[/mm]
>
> Nach obiger Definition der Bahnen dieser Operation ist ja:
>
> [mm]B_{x}[/mm] = [x] [mm]\Rightarrow |B_{x}|[/mm] = |[x]|
> |G| = [mm]|B_{1}|[/mm] + ... + [mm]|B_{k}|[/mm] = [mm]|[x_{1}|[/mm] + ... + [mm]|[x_{k}]|[/mm]
> für Bahnen [mm]B_{1},...,B_{k}[/mm]
>
> Da [mm]|B_{x}|[/mm] = [mm][G:G_{x}] \Rightarrow[/mm] |G| = [mm]\sum_{[x]\in X_{1}}{[G:G_{x}]}[/mm]
> = [mm]\sum_{[x]\in X_{1}}{[G:Z(x)]}[/mm]
>
Ja. Allerdings hast du jetzt auch die Bahnformel gleich mitgezeicht; diese kannst du auch einfach verwenden :)
> (2): [mm]\sum_{[x]\in X_{1}}{[G:Z(x)]}[/mm] = |Z| + [mm]\sum_{[x]\in X_{2}}{[G:Z(x)]}[/mm]
>
> Nachdem man sich klar gemacht hat, was diese Gleichheit
> bedeutet, kann man den Beweis auf das folgende reduzieren:
>
> Zu zeigen: |Z| = [mm]\sum_{[x]\in (X_{1}\X_{2})}{[G:Z(x)]}[/mm] =
> [mm]\sum_{[x]\in (X_{1}\backslash X_{2})}{|[x]|}[/mm] =
> [mm]|(X_{1}\backslash X_{2})|[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] |Z| = [mm]|(X_{1}\backslash X_{2})|[/mm]
>
> Und ich bin entweder zu lange schon dran, oder ich
> übersehe etwas.. auf jeden Fall will mir nicht einfallen,
> wie ich diese Gleichheit zeigen soll!
Du musst zeigen: $|[x]| = 1 [mm] \Leftrightarrow [/mm] [G : Z(G)] = 1 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Z$.
Damit solltest du weiterkommen :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Felix!
>
> Du musst zeigen: [mm]|[x]| = 1 \Leftrightarrow [G : Z(G)] = 1 \Leftrightarrow x \in Z[/mm].
>
> Damit solltest du weiterkommen :)
>
Tatsächlich.. danke dir! :)
> LG Felix
Viele Grüsse, Amaro
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