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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Mi 14.07.2010 | | Autor: | clee |
| Aufgabe | Sei [mm] \psi [/mm] Klassenfunktion auf H [mm] \subset [/mm] G, dann ist
[mm] \bruch{1}{ |G| } \summe_{g \in G} \psi^G(g)=\bruch{1}{ |H| } \summe_{h \in H} \psi(g)
[/mm]
wobei [mm] \psi^G(g):=\bruch{1}{ |H| } \summe_{g \in G, xgx^{-1} \in H} \psi (xgx^{1}) [/mm] die von [mm] \psi [/mm] induzierte Klassenfunkton auf G ist. |
ich muss in 2 tagen einen vortrag halten und verstehe nicht wir man das zeigt. scheinbar funktionniert das irgendwie so:
[mm] \bruch{1}{ |G| } \summe_{g \in G} \psi^G(g)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{ |G||H| } \summe_{g \in G} \summe_{g \in G, xgx^{-1} \in H} \psi(xgx^{-1})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{ |G||H| } \summe_{(g,x) \in GxG, xgx^{-1} \in H} \psi(xgx^{-1})
[/mm]
wenn ich jetzt zeigen kann, dass es für alle $h [mm] \in [/mm] H$ $ |G|$ Paare $(g,x)$ mit [mm] $xgx^{-1}=h$ [/mm] gibt müsste ich ja fertig sein.
anscheinend sieht man das irgendwie mit der bahnformel: $|G|=|G [mm] \circ x|*|G_x|=|\{gxg^{-1}|g \in G\}|*|\{g \in G|gxg^{-1}=x\}|$ [/mm] wie das funktionnieren soll verstehe ich aber nicht ...
wär super wenn mir das jemand erklären könnte oder einen anderen beweis zeigen kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:56 Do 15.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> Sei [mm]\psi[/mm] Klassenfunktion auf H [mm]\subset[/mm] G, dann ist
> [mm]\bruch{1}{ |G| } \summe_{g \in G} \psi^G(g)=\bruch{1}{ |H| } \summe_{h \in H} \psi(g)[/mm]
Das hinten soll sicher ein [mm] $\psi(h)$ [/mm] sein, oder?
> wobei [mm]\psi^G(g):=\bruch{1}{ |H| } \summe_{g \in G, xgx^{-1} \in H} \psi (xgx^{1})[/mm]
Und hier soll rechts [mm] $\sum_{x \in G, x g x^{-1} \in H} \psi(x [/mm] g [mm] x^{-1})$ [/mm] stehen, oder?
> die von [mm]\psi[/mm] induzierte Klassenfunkton auf G ist.
> ich muss in 2 tagen einen vortrag halten und verstehe
> nicht wir man das zeigt. scheinbar funktionniert das
> irgendwie so:
>
> [mm]\bruch{1}{ |G| } \summe_{g \in G} \psi^G(g)[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{ |G||H| } \summe_{g \in G} \summe_{g \in G, xgx^{-1} \in H} \psi(xgx^{-1})[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{ |G||H| } \summe_{(g,x) \in GxG, xgx^{-1} \in H} \psi(xgx^{-1})[/mm]
Dann wuerd dieser Schritt naemlich wesentlich mehr Sinn machen.
> wenn ich jetzt zeigen kann, dass es für alle [mm]h \in H[/mm] [mm]|G|[/mm]
> Paare [mm](g,x)[/mm] mit [mm]xgx^{-1}=h[/mm] gibt müsste ich ja fertig
> sein.
Ja.
> anscheinend sieht man das irgendwie mit der bahnformel:
Bei der Operation "Konjugation"?
> [mm]|G|=|G \circ x|*|G_x|=|\{gxg^{-1}|g \in G\}|*|\{g \in G|gxg^{-1}=x\}|[/mm]
> wie das funktionnieren soll verstehe ich aber nicht ...
Es ist ja $| [mm] \{ (g, x) \in G^2 \mid x g x^{-1} = h \}| [/mm] = [mm] \sum_{g \in G} |\{ x \in G \mid x g x^{-1} = h \}|$. [/mm] Die Menge der $g$, fuer die [mm] $|\{ x \in G \mid x g x^{-1} = h \}| [/mm] > 0$ ist, ist ja gerade [mm] $\{ y h y^{-1} \mid y \in G \}$. [/mm] Sei nun $g = y h [mm] y^{-1}$ [/mm] fuer ein $y [mm] \in [/mm] G$; dann ist [mm] $\{ x \in G \mid x g x^{-1} = h \} [/mm] = [mm] \{ x \in G \mid x y h y^{-1} x^{-1} = h \} [/mm] = [mm] \{ x \in G \mid (x y) h (x y)^{-1} = h \} [/mm] = [mm] \{ x \in G \mid x h x^{-1} = h \} \cdot y^{-1}$; [/mm] insbesondere gilt [mm] $|\{ x \in G \mid x g x^{-1} = h \}| [/mm] = [mm] |\{ x \in G \mid x h x^{-1} = h \}| [/mm] = [mm] |G_h|$ [/mm] -- dies ist unabhaengig von $y$!
Also ist $| [mm] \{ (g, x) \in G^2 \mid x g x^{-1} = h \}| [/mm] = [mm] |\{ y h y^{-1} \mid y \in G \}| \cdot |G_h| [/mm] = |G [mm] \circ [/mm] h| [mm] \cdot |G_h| [/mm] = |G|$ nach der Bahnformel.
LG Felix
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