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| Aufgabe | gemäß einem Buch:
Die in der Technik auftretenden DGL 2.Orndnung lassen sich in folgender Form darstellen:
$Lu = [mm] A\widetilde{u} [/mm] = f$ [mm] $\widetilde{u}=[u_{x_1,x_1},\ldots,u_{x_n,x_n}]$
[/mm]
Der Differentialoperator läßt sich schreiben als:
$(1)$ $Q = p^TAp$ [mm] $\rightarrow [/mm] Frage (1)$
Annahme: In $B [mm] \subset R^n$ [/mm] existiert eine Lösung $u(x)$.
Da A symmetrisch ist (läßt sich sonst zu symmetrischer Form umschreiben) gilt:
$(2) T^TAT=B$ $ [mm] \rightarrow [/mm] Frage(2)$
Setzt man ein (mit $q=T^tp$) ergibt sich:
$ Q = p^tAp = p^tTBT^Tp = q^tBq = [mm] \sum_{i=1}^nB_iq^2_i$.
[/mm]
... (Klassifizierung elliptisch,parabolisch, hyperbolisch).
Diese Klassifizierung der DGLn 2.Ordnung ist geometrischer Art, denn
[mm] $\sum_{i=1}^nB_ix^2_i [/mm] = c$
ist entweder ein Hyperboloid, ein Paraboloid oder ein Ellipsoied im [mm] $R^n$ $\rightarrow [/mm] Frage (3)$
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Hallo Leser/in,
(1) Dass der Differentialoperator $L$ auch anders geschrieben kann, ist logisch, aber warum für die Darstellung von L die Matrix A der rechten Seite benutzen kann, ist mir unklar.
(2) Es ist klar, dass eine symmetrische, reele Matrix als Singulärwertzerleung in der Form (2) dargestellt werden kann. Warum kommt allerdings B, also der Bereich der Lösung als Diagonalmatrix raus?
(3) Offensichtlich ist x in der Gleichung fest, doch sind c und B veränderlich und B durch die Klassifikation nicht frei auswählbar? Also das verstehe ich gar nicht.
Gruß aus Hamburg,
Alice
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Hallo Alice,
meiner Meinung nach beruhen deine Fragen so gut wie ausschließlich auf ungeschickten bzw. missverständlichen Formulierungen im Buch.
> (1) Dass der Differentialoperator [mm]L[/mm] auch anders geschrieben
> kann, ist logisch, aber warum für die Darstellung von L die
> Matrix A der rechten Seite benutzen kann, ist mir unklar.
Die beiden $A$s sind unmöglich identisch. Das erste $A$ bezeichnet einen Differentialoperator und kann damit unmöglich kanonisch mit einer Matrix identifiziert werden.
> (2) Es ist klar, dass eine symmetrische, reele Matrix als
> Singulärwertzerleung in der Form (2) dargestellt werden
> kann. Warum kommt allerdings B, also der Bereich der Lösung
> als Diagonalmatrix raus?
Wieder: die beiden $B$s haben garantiert nichts miteinander zu tun. Das eine ist ein Gebiet im [mm] $\IR^n$, [/mm] das andere eine Matrix. Wie beide den gleichen Buchstaben bekommen können, ist mir schleierhaft.
> (3) Offensichtlich ist x in der Gleichung fest, doch sind
> c und B veränderlich und B durch die Klassifikation nicht
> frei auswählbar? Also das verstehe ich gar nicht.
Die Gleichung hat nur noch bedingt mit der ursprünglichen Differentialgleichung zu tun, sondern dient mehr der Veranschaulichung der Bezeichnungen elliptisch,parabolisch und hyperbolisch. Je nachdem, wie die [mm] $B_i$ [/mm] aussehen (positiv,negativ,Null) wird die Gleichung einem der drei Typen zugeordnet. Schau dir mal an, wie zb. ellipsoide und hyperpoloide durch solche impliziten gleichungen beschrieben werden können.
VG
Matthias
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Hallo Matthias,
vielen Dank für deine Hilfe, dann macht alles weitere Sinn.
Alice
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