Klausur LA1 2.6 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Im [mm] \IR^4 [/mm] seien die folgenden affinen Unterräume [mm] U_1 [/mm] & [mm] U_2 [/mm] gegeben:
[mm] U_1=\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ -2 } [/mm] + [mm] <\pmat{ 1 \\ 2 \\ 1 \\ -2 },\pmat{ 1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 }> U_2=\pmat{ 2 \\ 1 \\ -1 \\ -2 } [/mm] + [mm] <\pmat{ 2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 },\pmat{ 1 \\ 0 \\ -2 \\ -3 }>
[/mm]
Berechnen sie [mm] U_1\cap U_2. [/mm] Geben sie Ihr Ergebniss in der Form [mm] U_1\cap U_2= [/mm] v + [mm] [/mm] an, wobei [mm] v_1,v_2,...,v_n\in\IR^4 [/mm] & [mm] (v_1,...v_n) [/mm] eine Basis von [mm] [/mm] ist. |
Okay also ... Die Basis des Schnitts bestimmt man jah eigentlich indem man schaut ob die Basen der Unterräume linear abbhängig sind. Ist die Nicht der Fall schneiden sie sich einzig im Nullvektor. ... Aber hier habe ich jah Restklassenräume und die Vektoren [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 } [/mm] und [mm] \pmat{ 2 \\ 1 \\ -1 \\ -2 } [/mm] sind linear unabhängig ... aber hat das eine Bedeutung? Man sieht denke ich schon, dass ich keinen Schimmer habe wie die Aufgabe zu lösen ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
laß Dich hier nicht erschrecken vom Begriff "affine Unterräume" und der möglicherweise ungewohnen Schreibweise.
Solche Dinge zum Schnitt zu bringen, das hast Du bereits in der Schule getan.
[mm] U_1=\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ -2 } +<\pmat{ 1 \\ 2 \\ 1 \\ -2 },\pmat{ 1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 }>,
[/mm]
das ist nichts anderes, als die Ebene durch [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ -2 }, [/mm] welche von den Vektoren [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 1 \\ -2 }und \pmat{ 1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 } [/mm] aufgespannt wird.
Anders geschrieben: [mm] E_1: \vec{x}=\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ -2 } +\lambda\pmat{ 1 \\ 2 \\ 1 \\ -2 }+\mu\pmat{ 1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 }
[/mm]
Einen affinen Raum kannst Du Dir vorstellen als einen Ortsvektor, an welchen ein Vektorraum "geheftet" wird.
Es sind z.B. auch die Geraden und Ebenen, welche nicht durch den Ursprung gehen, affine Räume, man kennt sie aus der Schule.
Vektorräume sind sie nicht: die Null ist ja nicht drin.
Ich hoffe, daß Du mit diesen Informationen ein Stück weiter kommst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
:-O ... aahhhhhh .. jezzz ... dann mach ich das genau wie in der Schule dass ich die beiden Räume gleich setzte:
Aus [mm] U_1=\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ -2 } [/mm] + [mm] <\pmat{ 1 \\ 2 \\ 1 \\ -2 },\pmat{ 1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 }> [/mm] folgt dann, wie du ja schon gesagt hast, [mm] U_1: \vec{x}=\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ -2 } +\lambda_1\pmat{ 1 \\ 2 \\ 1 \\ -2 }+\mu_1\pmat{ 1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 }
[/mm]
Aus [mm] U_2=\pmat{ 2 \\ 1 \\ -1 \\ -2 } [/mm] + [mm] <\pmat{ 2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 },\pmat{ 1 \\ 0 \\ -2 \\ -3 }> [/mm] folgt [mm] U_2: \vec{y}=\pmat{ 2 \\ 1 \\ -1 \\ -2 } +\lambda_2\pmat{ 2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 }+\mu_2\pmat{ 1 \\ 0 \\ -2 \\ -3 }
[/mm]
Wenn ich die beiden gleich setze erhalte ich:
[mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ -2 } +\lambda_1\pmat{ 1 \\ 2 \\ 1 \\ -2 }+\mu_1\pmat{ 1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 }=\pmat{ 2 \\ 1 \\ -1 \\ -2 } +\lambda_2\pmat{ 2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 }+\mu_2\pmat{ 1 \\ 0 \\ -2 \\ -3 }
[/mm]
sortieren ==>
[mm] \lambda_1\pmat{ 1 \\ 2 \\ 1 \\ -2 }+\mu_1\pmat{ 1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 }+\lambda_2\pmat{ -2 \\ -2 \\ -1 \\ -1 }+\mu_2\pmat{ -1 \\ 0 \\ 2 \\ 3 }=\pmat{ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 }
[/mm]
Also das Gleichungsystem [mm] \pmat{1 & 1 & -2 & -1 & -1 \\ 2 & 2 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & -1 & 3 & 0 }\to\pmat{1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Daraus kann ich schließen, dass [mm] \lambda_2=1-\mu_2
[/mm]
Einsetzen in [mm] U_2 [/mm] ergibt:
[mm] \vec{y}=\pmat{ 2 \\ 1 \\ -1 \\ -2 } +\pmat{ 2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 } -\mu_2\pmat{ 2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 }+\mu_2\pmat{ 1 \\ 0 \\ -2 \\ -3 }\to\pmat{ 4 \\ 3 \\ 0 \\ -1 }+\mu_2\pmat{ -1 \\ -2 \\ -3 \\ -4 }
[/mm]
Daraus würde dann folgen dass die gesuchte Basis [mm] \pmat{ 4 \\ 3 \\ 0 \\ -1 }+<\pmat{ -1 \\ -2 \\ -3 \\ -4 }> [/mm] ist.
Richtig? oder zu voreilige Schlüsse gezogen?
Und wenn das gleichungsystem keine Nullzeile gehabt hätte hieße dass, dass der Schitt leer ist? Eigentlich ja schon, da dann keine Abhängigkeit der variablen voneinander vorhanden gewesen wäre oder?
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Hallo,
wie ich das sehe, hast Du im Prinzip richtig gerechnet,
das Ergebnis würde dann lauten [mm] U_1\cap U_2= \pmat{ 4 \\ 3 \\ 0 \\ -1 }+<\pmat{ -1 \\ -2 \\ -3 \\ -4 }> [/mm]
Ich habe auch denselben Richtungsvektor errechnet wie Du,
allerdings liegt Dein Ortsvektor [mm] \pmat{ 4 \\ 3 \\ 0 \\ -1 } [/mm] meiner Rechnung nach nicht in [mm] U_1, [/mm] was ja nicht sein darf...
Der Fehler liegt wohl beim Aufstellen der erweiterten Matrix:
> $ [mm] \lambda_1\pmat{ 1 \\ 2 \\ 1 \\ -2 }+\mu_1\pmat{ 1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 }+\lambda_2\pmat{ -2 \\ -2 \\ -1 \\ -1 }+\mu_2\pmat{ -1 \\ 0 \\ 2 \\ 3 }=\pmat{ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 } [/mm] $
> Also das Gleichungsystem $ [mm] \pmat{1 & 1 & -2 & -1 & -1 \\ 2 & 2 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & -1 & 3 & 0 }
[/mm]
Die letzte Spalte Deines GS hat verkehrte Vorzeichen. Du hast ja eine erweiterte Matrix für ein inhomogenes lineares GS, da kommen in die letzte Spalte die Zahlen jenseits des Gleichheitszeichens, also der rechte Spaltenvektor.
Gruß v. Angela
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