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| Aufgabe | Gegeben seien der Punkt P=(1,1,0) und die Gerade g durch den Punkt Q=(1,2,1) in Richtung des Vektors [mm] v=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
a) Man bestimme denjenigen Punkt auf der Geraden g, so dass der Vektor [mm] \overrightarrow{PR} [/mm] orthogonal auf dem Vektor [mm] \overrightarrow{v} [/mm] steht.
b) Man bestime den Winkel zwischen den Vektoren [mm] \overrightarrow{QP} [/mm] und [mm] \overrightarrow{v}
[/mm]
c) Man bestimme Parameterdarstellung und Normalenform der Ebene, die den Punkt P und die Gerade g enthält. |
Hallo,
die obige Aufgabe wurde mir/uns in meiner ersten Uni-Matheklausur gestellt und ich bin mir auch ganz sicher das dass bestimmt alles gaaanz simpel ist, aber ich stehe total auf dem Schlauch. Für die Wiederholungskausur in ein paar Tagen würde ich die Aufgabe gern nochmal ordentlich nachrechnen.
Die Teilaufgabe b) habe ich geschafft, das haben wir 1:1 in der Vl gehabt. Und ich denke auch dass ich c) schaffe aber dazu fehlt mir das Vorwissen aus Aufgabe a)
Bei der Teilaufgabe a) bin ich soweit gekommen, das ich vermutlich erstmal eine Geradengleichung aufstellen muss und dann irgendwie per Skalarprodukt auf eine 0 als Lösung kommen sollte (wg. orthogonal), oder?
Es wäre wirklich sehr hilfreich, wenn mir jemand einen kleinen Gedankenschubs geben könnte... (Und: ich studiere eine Naturwissenschaft und hatte keinen Mathe LK also gaaanz langsam bitte....)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Meine Überlegung ist folgende:
Gehe von P nach R: [mm] \vektor{1 \\ 2\\ 1}+s \vektor{1 \\ 1\\ 1}=\vektor{1 \\ 1\\ 0}+ \vektor{x \\ y\\ z}
[/mm]
Der Vektor [mm] \vektor{x \\ y\\ z} [/mm] ist der orthogonale Vektor zur Geraden g.
Das Skalarprodukt von [mm] \vektor{1 \\ 1\\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{x \\ y\\ z} [/mm] ist NULL, da diese Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Das reicht eigentlich schon. Nun hast du 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Das ist zwar eine eklige Rechnerei, aber so ein Gleichungssystem ist eindeutig lösbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Jenz |
Also du stellst als erstes die Gerade g auf: (ich nehme an, dass v schon der Richtungsvektor ist und kein Ortsvektor zum Punkt V!)
vec(x) = (1,2,1) + r*(1,1,1)
Der Punkt R soll ja auf g liegen, also folgt:
(R1,R2,R3) = (1,2,1) + r*(1,1,1) = (1+r,2+r,1+r). Das ist unser sog. "Lotfußpunkt"
Und jetzt greift das Skalarprodukt:
QV * RP = 0
Dieses kann man dann lösen und man erhält den Streckfaktor r.
Diesen setzt man in den Gerade g ein und man erhält für x den Punkt R (der Lotfp).
zu c)
Du brauchst nur noch einen 2. Spannvektor, der wäre dann (P-Q). Dann hast du schon deine Ebene.
Für die Normalform brauchst du einen Normalvektor n, der senkrecht auf den Spannvektoren steht. Den berechnet man zügig mit dem Kreuzprodukt (eine andere Möglichkeit wäre der lange Weg über ein LGS).
Normalform wäre dann n*x = p*n , wobei n = Normalvektor und p der Stützvektor aus der Parameterdarstellung. Das Skalarprodukt p*n = dgibt dann den Abstand der Ebene zum Ursprung an (so zur Randinfo).
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@Rabilein und Jenz: Danke für eure Mühe!
@Rabilein: Warum habe ich vier Gleichungen mit vier Unbekannten?
@Jenz: Was ist QV*RP? Insbesondere was ist V?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Di 25.03.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> @Rabilein: Warum habe ich vier Gleichungen mit vier
> Unbekannten?
Das sind die vier Gleichungen.
1+s=1+x
2+s=1+y
1+s=z
x+y+z=0
Die ersten drei Gleichungen ergeben sich aus der obersten, der mittleren und der unteren Zeile meiner Vektorgleichung.
Die vierte Gleichung ergibt sich durch das Skalarprodukt
[mm] \vektor{1 \\ 1\\1}*\vektor{x \\ y\\z}=0
[/mm]
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> @Jenz: Was ist QV*RP? Insbesondere was ist V?
Hallo,
wenn ich alles recht deute, meint Jenz hier: [mm] \vec{v}*\overrightarrow{RP}=0.
[/mm]
Den Vektor [mm] \vec{v} [/mm] kennst Du, in dem Vektor [mm] \overrightarrow{RP} [/mm] schwirrt im Moment noch die Variable r umher, welche Du aber mit [mm] \vec{v}*\overrightarrow{RP}=0 [/mm] berechnen kannst.
Einsetzen in die Parameterform der Geraden liefert Dir dann den gesuchten Punkt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Do 27.03.2008 | | Autor: | Jenz |
Genau so mein ich das!
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