Klausuraufgabe; Identität < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Mo 14.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Hier habe ich noch eine Aufgabe aus der Analysis III-Vorlesung:
Warum gilt [mm] \limes_{k\to\infty}\integral_2^4 \bruch{7k+3}{k(x-2)^2+3}dx=\integral_2^4 \limes_{k\to\infty} \bruch{7k+3}{k(x-2)^2+3}dx [/mm] ? |
Da hier der Limes in den Integranden gezogen wird, gehe ich davon aus, dass die Begründung zu tun hat mit dem Satz von der monotonen Konvergenz oder mit dem Satz von der dominierten Konvergenz.
Wer kann mir einen kleinen Hinweis geben, in welche Richtung man denken sollte?
Ich habe diese Frage auch hier gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1354199#post1354199
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Mo 14.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Der Ausdruck [mm] f_k(x)=\bruch{7k+3}{k(x-2)^2+3} [/mm] geht für [mm] k\to \infty [/mm] gegen [mm] \bruch{7}{x^2-4x+4}=\bruch{7}{(x-2)^2}. [/mm] Das könnte die Grenzfunktion f sein. Eine Majorante würde man auch finden.
Ich würde daher meinen, hier benötigt man den Satz von der dominierten Konvergenz.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hier habe ich noch eine Aufgabe aus der Analysis
> III-Vorlesung:
>
> Warum gilt [mm]\limes_{k\to\infty}\integral_2^4 \bruch{7k+3}{k(x-2)^2+3}dx=\integral_2^4 \limes_{k\to\infty} \bruch{7k+3}{k(x-2)^2+3}dx[/mm]
> ?
> Da hier der Limes in den Integranden gezogen wird, gehe
> ich davon aus, dass die Begründung zu tun hat mit dem Satz
> von der monotonen Konvergenz oder mit dem Satz von der
> dominierten Konvergenz.
> Wer kann mir einen kleinen Hinweis geben, in welche
> Richtung man denken sollte?
Hast Du die Aufgabe korrekt wiedergegeben ?
Die Funktion [mm] f(x)=\bruch{7}{(x-2)^2} [/mm] ist nicht integrierbar über [2,4]
FRED
>
> Ich habe diese Frage auch hier gestellt:
>
> http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1354199#post1354199
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Mo 14.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Hm, ich habe es schon so abgeschrieben, wie es dort stand.
Wieso ist sie denn nicht integrierbar über [2,4], weil man 2 nicht einsetzen darf?
Vielleicht hat es damit zu tun, dass die Funktionenfolge nur fast überall gegen die Grenzfunktion konvergieren muss?
EDIT:
Achso, nicht integrierbar, weil bei dem Integral [mm] \infty [/mm] herauskommt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Mo 14.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ja, stimmt, das Integral ist nicht integrierbar, es kommt [mm] \infty [/mm] heraus.
So ein Mist, jetzt habe ich die Aufgabe nicht mehr vorliegen und kann nicht mehr nachschauen, ob ich mich doch verschrieben habe.
Vielleicht nimmt man einen anderen Satz oder hat man da das gleiche Problem?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Di 15.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Dass bei einem Integral unendlich herauskommt, ist doch aber zulässig.
In dem anderen Forum wurde ich darauf hingewiesen, dass da ruhig unendlich herauskommen kann.
Außerdem könne man das viel direkter mit dem Satz über monotone Konvergenz zeigen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Di 15.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Dass bei einem Integral unendlich herauskommt, ist doch
> aber zulässig.
Das ist richtig.
>
> In dem anderen Forum wurde ich darauf hingewiesen, dass da
> ruhig unendlich herauskommen kann.
>
> Außerdem könne man das viel direkter mit dem Satz über
> monotone Konvergenz zeigen.
Man kann das Integral [mm] \integral_2^4 \bruch{7k+3}{k(x-2)^2+3}dx [/mm] auch recht einfach ausrechnen:
$ [mm] \integral_2^4 \bruch{7k+3}{k(x-2)^2+3}dx= \bruch{7k+3}{\wurzel{3k}}*arctan( \bruch{2*\wurzel{k}}{\wurzel{3}})$.
[/mm]
Dann sieht man: [mm] $\integral_2^4 \bruch{7k+3}{k(x-2)^2+3}dx \to \infty$ [/mm] für $k [mm] \to \infty$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Di 15.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Dann müsste man also jetzt noch eine Majorante finden und hätte die Aufgabe mit Hilfe des Satzes von der dominierten Konvergenz gelöst? |
Alternativ kann man wahrscheinlich auch zeigen, dass die [mm] f_k=\bruch{7k+3}{k(x-2)^2+3} [/mm] nichtnegativ und meßbar sind (dass sie gegen die Grenzfunktion f monoton wachsend fast überall konvergieren natürlich auch) und dann den Satz von der monotonen Konvergenz anwenden.
Also meßbar sind die [mm] f_k, [/mm] würde ich sagen, weil sie stetig sind. Positiv sind die auch und monoton wachsend auch. f ist ja oben bereits als Grenzfunktion ausgemacht.
Dann kann man den Limes nach "innen" ziehen und hat doch eigentlich schon die Aufgabe bewiesen.
Das hei0ßt, die Antwort auf die anfängliche Frage wäre:
Dies gilt, weil man den Satz von der monotonen Konvergenz anwenden kann."
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Di 15.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Dann müsste man also jetzt noch eine Majorante finden und
> hätte die Aufgabe mit Hilfe des Satzes von der dominierten
> Konvergenz gelöst?
> Alternativ kann man wahrscheinlich auch zeigen, dass die
> [mm]f_k=\bruch{7k+3}{k(x-2)^2+3}[/mm] nichtnegativ und meßbar sind
> (dass sie gegen die Grenzfunktion f monoton wachsend fast
> überall konvergieren natürlich auch) und dann den Satz
> von der monotonen Konvergenz anwenden.
>
> Also meßbar sind die [mm]f_k,[/mm] würde ich sagen, weil sie
> stetig sind.
Ja
> Positiv sind die auch
Ja
> und monoton wachsend
> auch. f ist ja oben bereits als Grenzfunktion ausgemacht.
Na, na !! Da gibts noch was zu tun ! Zeige: [mm] f_k \le f_{k+1} [/mm] auf [2,4]
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> Dann kann man den Limes nach "innen" ziehen und hat doch
> eigentlich schon die Aufgabe bewiesen.
>
>
> Das hei0ßt, die Antwort auf die anfängliche Frage wäre:
> Dies gilt, weil man den Satz von der monotonen Konvergenz
> anwenden kann."
Ja, wenn gezeigt ist: [mm] f_k \le f_{k+1} [/mm] auf [2,4].
Dann mach mal !
FRED
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