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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:59 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Sei $0 [mm] \le a_{k,1} \le a_{k,2} \le a_{k,3} \le a_{k,4} \le [/mm] ... [mm] \le a_{k,n} \le a_{k,n+1} \le [/mm] ... [mm] a_{k}$ [/mm] (für $n [mm] \to \infty$) [/mm] und [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}a_k<\infty$.
[/mm]
Zeige: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{\infty}a_{k,n}=\summe_{k=1}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{k,n}$. [/mm] |
Hi!
Wollte mal fragen, ob meine Lösung halbwegs stimmt (oder auch ganz stimmt).
Es gilt offensichtlich: [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}a_{k,n} \le \summe_{k=1}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{k,n}.
[/mm]
Dann sei [mm] $\epsilon [/mm] >0$ beliebig. Wähle $K [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{k} \le \summe_{k=1}^{K}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{k,n}+\epsilon$
[/mm]
und ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_{k,n} \le a_{k,n}+\bruch{\epsilon}{K} \forall [/mm] n>N, k<K$.
Dann kann man die Ungleichung erweitern:
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}a_{k,n} \le \summe_{k=1}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{k,n} \le \summe_{k=1}^{K}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{k,n}+\epsilon \le \summe_{k=1}^{K}a_{k,n}+2\epsilon$
[/mm]
Wendet man nun [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] an:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{\infty}a_{k,n} \le \summe_{k=1}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{k,n} \le \summe_{k=1}^{K}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{k,n}+\epsilon \le \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{K}a_{k,n}+2\epsilon$.
[/mm]
Und darauf dann [mm] \limes_{\epsilon\rightarrow 0} [/mm] (dann strebt K gegen [mm] \infty):
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{\infty}a_{k,n} \le \summe_{k=1}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{k,n} \le \limes_{\epsilon\rightarrow 0}\summe_{k=1}^{K}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{k,n}+\epsilon \le \limes_{\epsilon\rightarrow 0}\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{K}a_{k,n}+2\epsilon$
[/mm]
Woraus dann folgt:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{\infty}a_{k,n} \le \summe_{k=1}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{k,n} \le \summe_{k=1}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty}a_{k,n} \le \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{\infty}a_{k,n}.
[/mm]
Damit folgt dann eben die Gleichheit beider Ausgangsausdrücke.
Denkt ihr, dass das so reicht? Oder muss man den Schritt mit dem Limes von [mm] \epsilon [/mm] weiter ausformulieren?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Ich nochmal.
Wollte nur nochmal die Frage ein letztes mal rauskramen.
Kann mir bitte jemand sagen, ob das so alles passt?
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mi 02.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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