Kleinsche Vierergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Gruppe [mm] (\IZ/2\IZ) [/mm] x [mm] (\IZ/2\IZ) [/mm] wird Kleinsche Vierergruppe genannt. Finden Sie Erzeuger und Relationen für diese Gruppe. Begründen Sie Ihre Antwort. |
Hallo!
Ich habe folgende Lösung, kann jemand darüber schauen, ob das so stimmt und mir meine Fragen dazu beantworten?
wir wissen: [mm] \IZ/2\IZ=\{0,1\} [/mm] (ich werde 0 und 1 normal schreiben, aber es ist klar, dass hier modulo-gerechnet wurde)
aus [mm] (\IZ/2\IZ) [/mm] x [mm] (\IZ/2\IZ) [/mm] kann man also folgende Kombinationen von Paaren bilden:
a=(0,0), b=(0,1), c=(1,0), d=(1,1)
bilde ich nun das direkte produkt der kombinationen erhalte ich die gleichen kombinationen
(aber nur, wenn ich auch (1,1)*(1,1) rechne, darf ich das?)
damit ist also: [mm] (\IZ/2\IZ) [/mm] x [mm] (\IZ/2\IZ) [/mm] = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}
dies bildet mit der komponentenweise multiplikation keine gruppe, da es kein inverses gibt
jedoch mit der komponentenweise addition: die gruppe ist abgeschlossen, assoziativ, hat (0,0) als neutrales element und jedes element ist zu sich selbst invers
nun habe ich gelesen, dass sich die Kleinsche Vierergruppe durch zwei elemente, die nicht das neutrale element sind, erzeugen lässt. das stimmt auch, aber wie kann man darauf kommen, wenn man das nicht weiß? nur durch ausprobieren?
ich habe nun (0,1) und (1,0) genommen (also b und c)
e=a erhalte ich durch b+b und c+c
d erhalte ich durch b+c
also ist diese darstellung durch die erzeuger (0,1) und (1,0) und die relationen b+b und b+c
(muss ich dann auch schreiben c+c oder reicht b+b?)
Es wäre super, wenn mir hier jemand helfen könnte!
Grüßle, Lily
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> Die Gruppe [mm](\IZ/2\IZ)[/mm] x [mm](\IZ/2\IZ)[/mm] wird Kleinsche
> Vierergruppe genannt. Finden Sie Erzeuger und Relationen
> für diese Gruppe. Begründen Sie Ihre Antwort.
> Hallo!
> Ich habe folgende Lösung, kann jemand darüber schauen,
> ob das so stimmt und mir meine Fragen dazu beantworten?
>
> wir wissen: [mm]\IZ/2\IZ=\{0,1\}[/mm] (ich werde 0 und 1 normal
> schreiben, aber es ist klar, dass hier modulo-gerechnet
> wurde)
> aus [mm](\IZ/2\IZ)[/mm] x [mm](\IZ/2\IZ)[/mm] kann man also folgende
> Kombinationen von Paaren bilden:
> a=(0,0), b=(0,1), c=(1,0), d=(1,1)
Du meinst, das kartesische Produkt der unterliegenden besteht aus diesen vier Elementen.
> bilde ich nun das direkte produkt der kombinationen
> erhalte ich die gleichen kombinationen
> (aber nur, wenn ich auch (1,1)*(1,1) rechne, darf ich
> das?)
Hier weiß ich nicht, was du meinst. Was soll die Mutiplikation?
> damit ist also: [mm](\IZ/2\IZ)[/mm] x [mm](\IZ/2\IZ)[/mm] = {(0,0), (0,1),
> (1,0), (1,1)}
Eigentlich nicht. Die Verknüpfung ist wichtig. Wenn du unterliegende Mengen meinst, kann man das so sehen.
> dies bildet mit der komponentenweise multiplikation keine
Es geht um Addition!
> gruppe, da es kein inverses gibt
> jedoch mit der komponentenweise addition: die gruppe ist
> abgeschlossen, assoziativ, hat (0,0) als neutrales element
> und jedes element ist zu sich selbst invers
>
> nun habe ich gelesen, dass sich die Kleinsche Vierergruppe
> durch zwei elemente, die nicht das neutrale element sind,
> erzeugen lässt. das stimmt auch, aber wie kann man darauf
> kommen, wenn man das nicht weiß? nur durch ausprobieren?
> ich habe nun (0,1) und (1,0) genommen (also b und c)
> e=a erhalte ich durch b+b und c+c
> d erhalte ich durch b+c
>
> also ist diese darstellung durch die erzeuger (0,1) und
> (1,0) und die relationen b+b und b+c
> (muss ich dann auch schreiben c+c oder reicht b+b?)
>
> Es wäre super, wenn mir hier jemand helfen könnte!
> Grüßle, Lily
Mein Vorschlag:
Verstehe zyklische Gruppen
Verstehe direkte Produkte
Verstehe Gruppenpräsentationen
Zeige, dass das direkte Produkt isomorph zum Koprodukt modulo Kommutativität zwischen den Erzeugern der verschiedenen Gruppen ist.
Verwende hierzu, dass das direkte Produkt von Gruppen dadurch charakterisiert ist, dass die offensichtlichen Einbettungen injektiv sind, sich trivial schneiden und dass die Bilder unter ihnen Normalteiler sind.
Am Ende erhältst du die Präsentation [mm] $\langle [/mm] a, [mm] b\mid a^2=b^2=[a, b]=1\rangle$.
[/mm]
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hallo!
Danke erstmal für deine Antwort!
Dann gehe ich das mal durch:
> Mein Vorschlag:
>
> Verstehe zyklische Gruppen
ich glaube nicht, dass das hier nötig ist. Das ist nämlich eine Aufgabe von einer Übung bevor wir zyklische Gruppen durchgenommen haben. Also muss die Aufgabe auch ohne Kenntnisse von zyklischen Gruppen gelöst werden können.
>
> Verstehe direkte Produkte
Ok, die Definition aus unserem Skript ist folgende:
Seien [mm] G_{1}, G_{2} [/mm] Gruppen. Das direkte Produkt [mm] G=G_{1} [/mm] x [mm] G_{2} [/mm] ist die Menge der Paare [mm] (g_{1},g_{2}) \in G_{1} [/mm] x [mm] G_{2} [/mm] mit der komponentenweisen Multiplikation [mm] (g_{1},g_{2})(h_{1},h_{2})=(g_{1}h_{1},g_{2}h_{2}).
[/mm]
Hier habe ich nun das direkte Produkt [mm] \{0,1\} [/mm] x [mm] \{0,1\} [/mm] (wobei 0 und 1 hier Restklassen sind).
Also muss ich das kartesische Produkt bilden, damit erhalte ich:
[mm] \{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}
[/mm]
Damit ist [mm] \{0,1\} [/mm] x [mm] \{0,1\} [/mm] = ( [mm] \{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}, [/mm] + ) eine Gruppe, wobei + die komponentenweise Addition ist.
(abgeschlossen, assoziativ, neutrales Element (0,0), jedes Element zu sich selbst invers).
Ist das so weit richtig?
>
> Verstehe Gruppenpräsentationen
Der Grundsatz der Darstellung einer Gruppe durch Erzeuger und Relationen ist, dass sich jedes Element der Gruppe sich als Produkt der angegeben Erzeuger und ihrer Inversen schreiben lässt.
Wenn man also mit einer Darstellung alle Elemente der Gruppe schreiben kann, ist die Darstellung für die Gruppe richtig gewählt.
So weit richtig?
Brauche ich dann das folgende noch?
>
> Zeige, dass das direkte Produkt isomorph zum Koprodukt
> modulo Kommutativität zwischen den Erzeugern der
> verschiedenen Gruppen ist.
>
> Verwende hierzu, dass das direkte Produkt von Gruppen
> dadurch charakterisiert ist, dass die offensichtlichen
> Einbettungen injektiv sind, sich trivial schneiden und dass
> die Bilder unter ihnen Normalteiler sind.
Denn eigentlich kann ich doch jetzt schon eine Behauptung aufstellen, nämlich dass die Elemente a=(0,1) und b=(1,0) Erzeuger sind mit den Relationen [mm] a^{2}=b^{2}=(0,0) [/mm] und a+b=(1,1).
Oder?
Grüßle, Lily
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> Hallo!
> Danke erstmal für deine Antwort!
> Dann gehe ich das mal durch:
>
> > Mein Vorschlag:
> >
> > Verstehe zyklische Gruppen
> ich glaube nicht, dass das hier nötig ist. Das ist
> nämlich eine Aufgabe von einer Übung bevor wir zyklische
> Gruppen durchgenommen haben. Also muss die Aufgabe auch
> ohne Kenntnisse von zyklischen Gruppen gelöst werden
> können.
Hi,
Naja [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] ist ja eine zyklische Gruppe. Dass du überhaupt auf die Idee gekommen bist, das könnte etwas mit Multiplikation zu tun haben, wenn man gerade über Gruppenpräsentationen redet, hat auf mich den Eindruck gemacht, du müsstest dir noch einmal klar werden, was diese Gruppe genau auszeichnet.
Überlege dir zum Beispiel insbesondere einmal, dass [mm] $\IZ72\IZ\cong\langle a\mid a^2=1\rangle$. [/mm] Das wird man ja beim Lösen der Aufgaben sowieso irgendwie verwenden müssen.
> >
> > Verstehe direkte Produkte
> Ok, die Definition aus unserem Skript ist folgende:
> Seien [mm]G_{1}, G_{2}[/mm] Gruppen. Das direkte Produkt [mm]G=G_{1}[/mm] x
> [mm]G_{2}[/mm] ist die Menge der Paare [mm](g_{1},g_{2}) \in G_{1}[/mm] x
> [mm]G_{2}[/mm] mit der komponentenweisen Multiplikation
> [mm](g_{1},g_{2})(h_{1},h_{2})=(g_{1}h_{1},g_{2}h_{2}).[/mm]
>
> Hier habe ich nun das direkte Produkt [mm]\{0,1\}[/mm] x [mm]\{0,1\}[/mm]
> (wobei 0 und 1 hier Restklassen sind).
> Also muss ich das kartesische Produkt bilden, damit
> erhalte ich:
> [mm]\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}[/mm]
> Damit ist [mm]\{0,1\}[/mm] x [mm]\{0,1\}[/mm] = (
> [mm]\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\},[/mm] + ) eine Gruppe, wobei + die
> komponentenweise Addition ist.
> (abgeschlossen, assoziativ, neutrales Element (0,0), jedes
> Element zu sich selbst invers).
Das musst du nicht jedes mal begründen. Das direkte Produkt von Gruppen ist gerade so definiert, dass es eine Gruppe mit bestimmten Eigenschaften ist. Das habt ihr bestimmt auch mal in einer Vorlesung oder Übung nachgerechnet.
> Ist das so weit richtig?
>
> >
> > Verstehe Gruppenpräsentationen
>
> Der Grundsatz der Darstellung einer Gruppe durch Erzeuger
> und Relationen ist, dass sich jedes Element der Gruppe sich
> als Produkt der angegeben Erzeuger und ihrer Inversen
> schreiben lässt.
Und dass die Darstellung universell ist! Betrachte zum Beispiel die triviale Gruppe mit zugrunde liegender Menge [mm] $\{1\}$. [/mm] Wir schreiben jetzt mal $a$ anstelle für $1$. Jedes Element der Gruppe lässt sich dann als Vielfaches von $a$ schreiben. Außerdem gilt [mm] $a^5=1$. [/mm] Dennoch ist [mm] $\langle a\mid a^5=1\rangle\cong\IZ/5\IZ\not\cong\{1\}$!
[/mm]
Was ist ganz genau eure Definition der Präsentation einer Gruppe mit Erzeugenden und Relationen? Lies dir vielleicht auch mal Wikipedia oder so dazu durch. Wichtig ist folgendes:
Wenn du eine weitere Gruppe mit Erzeugenden hast, denen du den gleichen Namen gibst, und welche dieselben Relationen erfüllen, dann gibt es einen eindeutigen Homomorphismus von der Gruppe mit Erzeugenden und Relationen auf die andere Gruppe, sodass jeder Erzeuger auf den Erzeuger mit dem selben Namen gibt.
Ich habe schon verraten, dass [mm] $\IZ/2\IZ\times \IZ/2\IZ\cong\langle a,b\mid a^2=b^2=aba^{-1}b^{-1}=1\rangle$. [/mm] Wenn du das jetzt ganz naiv beweisen wolltest, also das, was ich noch über direkte Produkte etc. geschrieben habe nicht verwenden willst, musst du zeigen:
Gibt es eine Gruppe $G$, welche von zwei Elementen $a',b'$ erzeugt wird, sodass $a'^2=b'^2=a'b'a'^{-1}b'^{-1}$ gilt, dann gibt es einen eindeutigen Homomorphismus [mm] $f\colon \IZ/2\IZ\times\IZ/2\IZ\longrightarrow [/mm] G$ mit $f(0,1)=a'$, $f(1,0)=b'$.
> Wenn man also mit einer Darstellung alle Elemente der
> Gruppe schreiben kann, ist die Darstellung für die Gruppe
> richtig gewählt.
>
> So weit richtig?
>
> Brauche ich dann das folgende noch?
> >
> > Zeige, dass das direkte Produkt isomorph zum Koprodukt
> > modulo Kommutativität zwischen den Erzeugern der
> > verschiedenen Gruppen ist.
> >
> > Verwende hierzu, dass das direkte Produkt von Gruppen
> > dadurch charakterisiert ist, dass die offensichtlichen
> > Einbettungen injektiv sind, sich trivial schneiden und dass
> > die Bilder unter ihnen Normalteiler sind.
> Denn eigentlich kann ich doch jetzt schon eine Behauptung
> aufstellen, nämlich dass die Elemente a=(0,1) und b=(1,0)
> Erzeuger sind mit den Relationen [mm]a^{2}=b^{2}=(0,0)[/mm] und
> a+b=(1,1).
> Oder?
Du solltest nicht die additive und die multiplikative Schreibweise verwechseln. Besser ist die Multiplikative, weil a priori nicht klar ist, ob eine Gruppe kommutativ ist, oder nicht.
Etwas wie $a+b=(1,1)$ macht als Relation keinen Sinn, weil Relationen zwischen Erzeugern definiert sind und andere Elemente der Gruppe, wie (1,1) keinen Sinn haben. Wenn dann hast du als dritte Relation $a*b=b*a$ und da habe ich oben schon geschrieben, wie man nachweisen kann, dass diese Relationen genügen.
> Grüßle, Lily
Worauf ich mit meinem letzten Absatz hinaus wollte, ist: Man kann zeigen, dass
[mm] $\langle X\mid R\rangle\times\langle Y\mid S\rangle\cong\langle X,Y\mid R,S,(xy=yx)_{x\in X,y\in Y}\rangle$. [/mm] Dafür kann man zum Beispiel das Resultat verwenden, das letztens von dir in einem anderen Thread hier zum direkten Produkt besprochen wurde. Wenn man sich dies allgemein überlegt, folgt damit, dass
[mm] $\IZ/2\IZ\times\IZ/2\IZ\cong \langle a\mid a^2=1\rangle\times\langle b\mid b^2=1\rangle\cong\langle a,b\mid a^2=1,b^2=1,ab=ba\rangle$.
[/mm]
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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