Kleinsche Vierergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei (ij) mit Vertauschung von i und j
[mm] V_{4}= [/mm] {id,(12)(34), (13)(24), (14)(23)}
a) Überlegen Sie sich, dass [mm] V_{4} [/mm] eine Untergruppe von [mm] (S_{4}, \circ) [/mm] ist und bestimmen Sie <x> für alle x [mm] \in V_{4}. [/mm] |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
zu obiger Lösung haben wir die Verknüpfungstafel von [mm] V_{4} [/mm] aufgeschrieben um das besser sehen zu können.
Die Verknüpfungstafel sieht aus wie hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Kleinsche_Vierergruppe nur eben mit den obigen Elementen aus der Aufgabenstellung.
Lösung ist das [mm] V_{4} [/mm] Untergruppe von [mm] S_{4} [/mm] ist.
Wir haben die einzelnen Schritte zum Nachweis der Guppenaxiome nicht aufgeschrieben, deswegen möchte ich das hier mal machen und eben wissen ob das richtig ist, was ich tue.
Also, los gehts:
G.1) Assoziativgesetz:
(x*y)*z= z*z = id
x*(y*z) = x*x = id
--> Gilt also.
G.2)
1. rechtsneutrales Element:
Für alle x [mm] \in V_{4} [/mm] existiert ein e [mm] \in V_{4} [/mm] mit x*e=x
--> Gilt.
2. rechtsinverses zu x bzgl. e:
Für alle x [mm] \in V_{4} [/mm] existiert ein y [mm] \in V_{4} [/mm] mit x*y=e
--> Gilt.
G.3) Kommutativgesetz:
Für alle x,y [mm] \in V_{4} [/mm] ist x*y=y*x = z
--> Gilt.
Also, was sagt ihr? Bin ich auf dem falschen Dampfer?
Dann zu dem Rest der Aufgabe, da steht als Lösung für <x>:
x [mm] \in V_{4} [/mm] --> <x> = {id, x}
wobei [mm] x^{k}=\begin{cases} x, & \mbox{} \mbox{ falls k ungerade ist} \\ id, & \mbox{} \mbox{ falls k gerade ist} \end{cases}
[/mm]
Das heißt doch, dass von <x> die "Struktur" der Gruppe haben muss und deswegen so wie oben ist. Das sogenannte Erzeugendensystem wäre V= {a,b}, weil daraus jedes Element der kleinschen Vierergruppe dargestellt werden kann, oder?
Danke im Voraus!
Liebe Grüße
Danke!
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> Es sei (ij) mit Vertauschung von i und j
> [mm]V_{4}=[/mm] {id,(12)(34), (13)(24), (14)(23)}
>
> a) Überlegen Sie sich, dass [mm]V_{4}[/mm] eine Untergruppe von
> [mm](S_{4}, \circ)[/mm] ist und bestimmen Sie <x> für alle x [mm]\in V_{4}.[/mm]
>
> Hallo,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> zu obiger Lösung haben wir die Verknüpfungstafel von
> [mm]V_{4}[/mm] aufgeschrieben um das besser sehen zu können.
> Die Verknüpfungstafel sieht aus wie hier:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Kleinsche_Vierergruppe nur
> eben mit den obigen Elementen aus der Aufgabenstellung.
>
> Lösung ist das [mm]V_{4}[/mm] Untergruppe von [mm]S_{4}[/mm] ist.
>
> Wir haben die einzelnen Schritte zum Nachweis der
> Guppenaxiome nicht aufgeschrieben, deswegen möchte ich das
> hier mal machen und eben wissen ob das richtig ist, was ich
> tue.
>
> Also, los gehts:
>
> G.1) Assoziativgesetz:
> (x*y)*z= z*z = id
> x*(y*z) = x*x = id
> --> Gilt also.
Was ist x,y,z ?. Das einzige was dir das Leben an dieser Stelle einfacher macht, ist die Aussage, dass Verknüpfungen in diesen Fällen immer assoziativ sind.
>
> G.2)
> 1. rechtsneutrales Element:
> Für alle x [mm]\in V_{4}[/mm] existiert ein e [mm]\in V_{4}[/mm] mit x*e=x
> --> Gilt.
Solltest vielleicht noch erwähnen, was e ist (auch wenns trivial ist).
>
> 2. rechtsinverses zu x bzgl. e:
> Für alle x [mm]\in V_{4}[/mm] existiert ein y [mm]\in V_{4}[/mm] mit x*y=e
>
> --> Gilt.
Ja warum? Was ist explizit y? Das kannst du hier direkt angeben.
>
> G.3) Kommutativgesetz:
> Für alle x,y [mm]\in V_{4}[/mm] ist x*y=y*x = z
> --> Gilt.
Ich weiß nicht ob du das aus der Gruppentafel ablesen darfst oder noch einmal explizit hinschreiben musst.
>
> Also, was sagt ihr? Bin ich auf dem falschen Dampfer?
Du kannst ja immer noch umsteigen. Eben hast du gezeigt [mm] $V_4$ [/mm] ist eine Gruppe. Du solltest aber zeigen, dass [mm] $V_4$ [/mm] eine UNTERgruppe von [mm] $S_4$ [/mm] ist. Also noch einmal nach den Untergruppenaxiomen schauen.
>
> Dann zu dem Rest der Aufgabe, da steht als Lösung für
> <x>:
> x [mm]\in V_{4}[/mm] --> <x> = {id, x}
<x>={id,x}
Ja. Dein x ist so eine Permutation.
> wobei [mm]x^{k}=\begin{cases} x, & \mbox{} \mbox{ falls k ungerade ist} \\
id, & \mbox{} \mbox{ falls k gerade ist} \end{cases}[/mm]
Ja sollte auch so sein. Die Ordnung von [mm] $x\in T_4$ [/mm] ist 2 (mit AUsnahme der Identität)
</x></x></x>(12)(34)=(12)(34)
(12)(34)*(12)(34)=id
(12)(34)*(12)(34)*(12)(34)=(12)(34)
(12)(34)*(12)(34)*(12)(34)*(12)(34)=id
<x><x><x>
<id> = {id}
<</x></x></x>(12)(34)>={(12)(34),id}
...
<x><x><x>
>
> Das heißt doch, dass von <x>[mm]\langle x \rangle[/mm] die "Struktur" der Gruppe
Wenn du mit Struktur die Ordnung der Elemente meinst, dann ja.
> haben muss und deswegen so wie oben ist. Das sogenannte
> Erzeugendensystem wäre V= {a,b}, weil daraus jedes Element
> der kleinschen Vierergruppe dargestellt werden kann, oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du nimmst jetzt die Bezeichnung von Wikipedia? Ja das erzeugende System ist [mm]\langle a,b \rangle[/mm]
>
> Danke im Voraus!
> Liebe Grüße
>
> Danke!
>
>
</x></x></x></x>
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> > Es sei (ij) mit Vertauschung von i und j
> > [mm]V_{4}=[/mm] {id,(12)(34), (13)(24), (14)(23)}
> >
> > a) Überlegen Sie sich, dass [mm]V_{4}[/mm] eine Untergruppe von
> > [mm](S_{4}, \circ)[/mm] ist und bestimmen Sie <x> für alle x [mm]\in V_{4}.[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > zu obiger Lösung haben wir die Verknüpfungstafel von
> > [mm]V_{4}[/mm] aufgeschrieben um das besser sehen zu können.
> > Die Verknüpfungstafel sieht aus wie hier:
> > http://de.wikipedia.org/wiki/Kleinsche_Vierergruppe nur
> > eben mit den obigen Elementen aus der Aufgabenstellung.
> >
> > Lösung ist das [mm]V_{4}[/mm] Untergruppe von [mm]S_{4}[/mm] ist.
> >
> > Wir haben die einzelnen Schritte zum Nachweis der
> > Guppenaxiome nicht aufgeschrieben, deswegen möchte ich das
> > hier mal machen und eben wissen ob das richtig ist, was ich
> > tue.
> >
> > Also, los gehts:
> >
> > G.1) Assoziativgesetz:
> > (x*y)*z= z*z = id
> > x*(y*z) = x*x = id
> > --> Gilt also.
> Was ist x,y,z ?. Das einzige was dir das Leben an dieser
> Stelle einfacher macht, ist die Aussage, dass
> Verknüpfungen in diesen Fällen immer assoziativ sind.
x,y,z [mm] \in V_{4}
[/mm]
> > G.2)
> > 1. rechtsneutrales Element:
> > Für alle x [mm]\in V_{4}[/mm] existiert ein e [mm]\in V_{4}[/mm] mit
> x*e=x
> > --> Gilt.
> Solltest vielleicht noch erwähnen, was e ist (auch wenns
> trivial ist).
e ist das neutrale Element, oder?
> > 2. rechtsinverses zu x bzgl. e:
> > Für alle x [mm]\in V_{4}[/mm] existiert ein y [mm]\in V_{4}[/mm] mit
> x*y=e
> >
> > --> Gilt.
> Ja warum? Was ist explizit y? Das kannst du hier direkt
> angeben.
y ist die Inverse von x, oder nicht?
> > G.3) Kommutativgesetz:
> > Für alle x,y [mm]\in V_{4}[/mm] ist x*y=y*x = z
> > --> Gilt.
> Ich weiß nicht ob du das aus der Gruppentafel ablesen
> darfst oder noch einmal explizit hinschreiben musst.
Ich denke ich durfte es ablesen, dafür haben wir die ja aufgeschrieben.
> > Also, was sagt ihr? Bin ich auf dem falschen Dampfer?
> Du kannst ja immer noch umsteigen. Eben hast du gezeigt
> [mm]V_4[/mm] ist eine Gruppe. Du solltest aber zeigen, dass [mm]V_4[/mm] eine
> UNTERgruppe von [mm]S_4[/mm] ist. Also noch einmal nach den
> Untergruppenaxiomen schauen.
Okay...also bei mir im Skript steht: Es sei (G; *) eine Gruppe. Ist [mm] \emptyset= [/mm] U [mm] \subset [/mm] G, so heißt U bzw. (U; *)
Untergruppe von G, falls (U; *_{UxU}) eine Gruppe ist.
Daher dachte ich, ich müsste die Gruppenaxiome zeigen. Was muss denn noch zusätzlich gemacht werden?
> > Dann zu dem Rest der Aufgabe, da steht als Lösung für
> > <x>:
> > x [mm]\in V_{4}[/mm] --> <x> = {id, x}
> <x>={id,x}
> Ja. Dein x ist so eine Permutation.
> > wobei [mm]x^{k}=\begin{cases} x, & \mbox{} \mbox{ falls k ungerade ist} \\
id, & \mbox{} \mbox{ falls k gerade ist} \end{cases}[/mm]
>
> Ja sollte auch so sein. Die Ordnung von [mm]x\in T_4[/mm] ist 2 (mit
> AUsnahme der Identität)
> </x></x></x>(12)(34)=(12)(34)
> (12)(34)*(12)(34)=id
> (12)(34)*(12)(34)*(12)(34)=(12)(34)
> (12)(34)*(12)(34)*(12)(34)*(12)(34)=id
>
>
> <x><x><x>
> <id> = {id}
> <</x></x></x>(12)(34)>={(12)(34),id}
> ...
> <x><x><x>
> >
> > Das heißt doch, dass von <x>[mm]\langle x \rangle[/mm] die
> "Struktur" der Gruppe
> Wenn du mit Struktur die Ordnung der Elemente meinst, dann
> ja.
Ja, meine ich.
> > haben muss und deswegen so wie oben ist. Das sogenannte
> > Erzeugendensystem wäre V= {a,b}, weil daraus jedes Element
> > der kleinschen Vierergruppe dargestellt werden kann, oder?
>
> Du nimmst jetzt die Bezeichnung von Wikipedia? Ja das
> erzeugende System ist [mm]\langle a,b \rangle[/mm]
>
Keine Ahnung ob Wikipedia das auch so nennt... wir haben als Lösung bloß V= {a,b} aufgeschrieben und ich habe es so wie oben gesagt verstanden.
> > Danke im Voraus!
> > Liebe Grüße
> >
> > Danke!
> >
> >
> </x></x></x></x>
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> >
> > > Es sei (ij) mit Vertauschung von i und j
> > > [mm]V_{4}=[/mm] {id,(12)(34), (13)(24), (14)(23)}
> > >
> > > a) Überlegen Sie sich, dass [mm]V_{4}[/mm] eine Untergruppe von
> > > [mm](S_{4}, \circ)[/mm] ist und bestimmen Sie <x> für alle x [mm]\in V_{4}.[/mm]
> > >
> > > G.1) Assoziativgesetz:
> > > (x*y)*z= z*z = id
> > > x*(y*z) = x*x = id
> > > --> Gilt also.
> > Was ist x,y,z ?. Das einzige was dir das Leben an
> dieser
> > Stelle einfacher macht, ist die Aussage, dass
> > Verknüpfungen in diesen Fällen immer assoziativ sind.
>
> [mm]x,y,z \in V_{4}[/mm]
Ja schon klar. Dann bezeichne, doch x=(12)(34) , y=(13)(24) ,...
Man führt doch Bezeichnungen ein, um nicht so viel schreiben zu müssen. Hier gibst du 3 Elemente x,y,z an. Aber die Kleinsche Vierergruppe hat 4 Elemente.
w:=id
x:=(12)(34)
y:=(13)(24)
z:=(14)(23)
> > > G.2)
> > > 1. rechtsneutrales Element:
> > > Für alle x [mm]\in V_{4}[/mm] existiert ein e [mm]\in V_{4}[/mm] mit
> > x*e=x
> > > --> Gilt.
> > Solltest vielleicht noch erwähnen, was e ist (auch
> wenns
> > trivial ist).
>
> e ist das neutrale Element, oder?
Ja. Aber e ist doch nur ein Buchstabe. Gib doch einmal ganz konkret das e an.
"Was ist e?"
[a] id [b] (12)(34)
[c] (13)(24) [d] (14)(23)
Joker sind nicht erlaubt.
>
> > > 2. rechtsinverses zu x bzgl. e:
> > > Für alle x [mm]\in V_{4}[/mm] existiert ein y [mm]\in V_{4}[/mm] mit
> > x*y=e
> > >
> > > --> Gilt.
> > Ja warum? Was ist explizit y? Das kannst du hier direkt
> > angeben.
>
> y ist die Inverse von x, oder nicht?
Du kannst doch nicht die Existenz behaupten und dann das Inverse einfach mit einem Buchstaben bezeichnen.
Ich kann doch auch nicht einfach sagen: es gibt eine Lösung von 0*p=3 ("in einem Körper") und die heißt k.
Sei [mm] $x\in V_4$, [/mm] dann ist [mm] $x\circ [/mm] x=e=id$. Also ist x zu sich selbstinvers.
>
> > > G.3) Kommutativgesetz:
> > > Für alle x,y [mm]\in V_{4}[/mm] ist x*y=y*x = z
> > > --> Gilt.
> > Ich weiß nicht ob du das aus der Gruppentafel ablesen
> > darfst oder noch einmal explizit hinschreiben musst.
>
> Ich denke ich durfte es ablesen, dafür haben wir die ja
> aufgeschrieben.
>
> > > Also, was sagt ihr? Bin ich auf dem falschen Dampfer?
> > Du kannst ja immer noch umsteigen. Eben hast du gezeigt
> > [mm]V_4[/mm] ist eine Gruppe. Du solltest aber zeigen, dass [mm]V_4[/mm] eine
> > UNTERgruppe von [mm]S_4[/mm] ist. Also noch einmal nach den
> > Untergruppenaxiomen schauen.
>
> Okay...also bei mir im Skript steht: Es sei (G; *) eine
> Gruppe. Ist [mm]\emptyset= U \subset G[/mm], so heißt U bzw. (U;
> *)
> Untergruppe von G, falls (U; *_{UxU}) eine Gruppe ist.
> Daher dachte ich, ich müsste die Gruppenaxiome zeigen.
Nagut . Ich kenn eine andere.
> Was muss denn noch zusätzlich gemacht werden?
Dann fehlt noch die Abgeschlossenheit bezüglich der Verknüpfung. Das steht dann bei dir wahrscheinlich noch bei den Gruppenaxiomen irgendwo erwähnt. Wer sagt denn, dass [mm] $x\circ [/mm] y$ wieder in [mm]V_4[/mm]. Na gut kann man auch ablesen. (Man kann ja eigentlich alles an der Verkn.-Tafel ablesen)
>
>
> > > haben muss und deswegen so wie oben ist. Das sogenannte
> > > Erzeugendensystem wäre V= {a,b}, weil daraus jedes Element
> > > der kleinschen Vierergruppe dargestellt werden kann, oder?
> >
> > Du nimmst jetzt die Bezeichnung von Wikipedia? Ja das
> > erzeugende System ist [mm]\langle a,b \rangle[/mm]
> >
> Keine Ahnung ob Wikipedia das auch so nennt... wir haben
> als Lösung bloß V= {a,b} aufgeschrieben und ich habe es
> so wie oben gesagt verstanden.
An das a und b werden Forderungen gestellt. Hier führst du wieder irgend eine Bezeichnung ein. Zum Beispiel erzeugen [mm]\langle id,(12)(34) \rangle[/mm] nicht die ganze Gruppe. Man kann doch direkt sagen, dass [mm]a,b\in V_4[/mm] mit [mm]a\neq id\neq b[/mm] und [mm] $a\neq [/mm] b$ die ganze Gruppe erzeugen.
>
Edit: Sätze in das Deutsche transformiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Mo 17.01.2011 | | Autor: | judithlein |
Ah. Okay. Kann ich vollkommen nachvollziehen. Bin noch etwas schluderisch in der Hinsicht.
Und das a [mm] \circ [/mm] b wieder [mm] \in V_{4} [/mm] sein müssen, ist ja klar. Wie du schon sagtest, steht ja alles in der Verknüpfungstafel: a [mm] \circ [/mm] b = c.
Und e ist die Identität.
Ok, versuche mich zu bessern  Bzw. genauer zu definieren.
Danke!
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