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| Aufgabe | Sei [mm] \Omega [/mm] ={1,2,3,4}. Bestimmen Sie [mm] \sigma (A_1, A_2) [/mm] für
a) [mm] A_1= [/mm] {1,2} und [mm] A_2= [/mm] {3,4}
b) [mm] A_1= [/mm] {1,2,3} und [mm] A_2= [/mm] {3,4} |
Hallo,
ich benötige Hilfe bei der Aufgabe bzw. Korrektur meines Lösungsvorschlags.
Also [mm] \sigma (A_1, A_2) [/mm] ist die kleinste [mm] \sigma [/mm] Algebra, die die beiden Mengen enthält und durch die 3 Eigenschaften weiß ich auch, dass in der [mm] \sigma [/mm] Algebra auch immer alle Vereinigungen aller Mengen liegen
Bei a) wäre das einfach [mm] \sigma (A_1, A_2) [/mm] = { {1,2,3,4}, {1,2}, {3,4}, [mm] \emptyset [/mm] }, da [mm] \Omega [/mm] drin liegt, jeweils die Komplemente alle Teilmengen und die Vereinigungen.
Bei b) wäre das [mm] \sigma (A_1, A_2) [/mm] = { {1,2,3,4}, {3,4}, {4}, {1,2,3}, [mm] \emptyset [/mm] }
Ist das richtig so oder habe ich Mengen vergessen und muss ich das noch näher begründen oder reicht das so?
Mit freundlichem Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo,
> Ist das richtig so oder habe ich Mengen vergessen und muss
> ich das noch näher begründen oder reicht das so?
Also die a) ist richtig. Bei der b) muss IMO noch {1,2} dazu, damit {3,4} ein Komplement besitzt. Außerdem fehlen noch die {1,2,4} und ihr Komplement {3} (die hatte ich auch vergessen).
Nachtrag: ich bekomme die Klammerfehler aus dem zitierten Text nicht heraus und habe ihn daher jetzt weitestgehend enfernt. Da spinnt wohl die Forensoftware einmal mehr...
Gruß, Diophant
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Hallo,
vielen Dank für deine Antwort. Stimmt, {1,2} bei b) muss auch noch darein. Hab ich wohl übersehen.
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 Di 17.10.2017 | | Autor: | donquijote |
> Hallo,
> vielen Dank für deine Antwort. Stimmt, {1,2} bei b) muss
> auch noch darein. Hab ich wohl übersehen.
Hallo, durch Vereinigung und Komplementbildung kommen dann noch 2 weitere Mengen dazu.
>
> Lieben Gruß
>
> TheBozz-mismo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:39 Di 17.10.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo donquijote,
> > vielen Dank für deine Antwort. Stimmt, {1,2} bei b)
> muss
> > auch noch darein. Hab ich wohl übersehen.
>
> Hallo, durch Vereinigung und Komplementbildung kommen dann
> noch 2 weitere Mengen dazu.
>
'2 weitere' ist vom Startbeitrag ausgehend gemeint, oder von meiner Antwort? Ich habe jetzt auch entdeckt, dass ich die Teilmenge {1,2,4} vergessen hatte. Aber ansonsten sehe ich jetzt nicht, was noch fehlen sollte?
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:54 Di 17.10.2017 | | Autor: | donquijote |
> Hallo donquijote,
>
> > > vielen Dank für deine Antwort. Stimmt, {1,2} bei b)
> > muss
> > > auch noch darein. Hab ich wohl übersehen.
> >
> > Hallo, durch Vereinigung und Komplementbildung kommen
> dann
> > noch 2 weitere Mengen dazu.
> >
>
> '2 weitere' ist vom Startbeitrag ausgehend gemeint, oder
> von meiner Antwort? Ich habe jetzt auch entdeckt, dass ich
> die Teilmenge {1,2,4} vergessen hatte. Aber ansonsten sehe
> ich jetzt nicht, was noch fehlen sollte?
Hallo Diophant,
davon kommt noch das Komplement {3} dazu.
Grundsätzlich enthält eine endliche Sigma-Algebra immer alle denkbaren Vereinigungen von n Atomen und muss damit [mm]2^n[/mm] Elemente haben. D.h. wenn du 7 hast, muss noch (mindestens) eine fehlen.
>
> Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:59 Di 17.10.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> > '2 weitere' ist vom Startbeitrag ausgehend gemeint, oder
> > von meiner Antwort? Ich habe jetzt auch entdeckt, dass ich
> > die Teilmenge {1,2,4} vergessen hatte. Aber ansonsten sehe
> > ich jetzt nicht, was noch fehlen sollte?
>
> Hallo Diophant,
> davon kommt noch das Komplement {3} dazu.
> Grundsätzlich enthält eine endliche Sigma-Algebra immer
> alle denkbaren Vereinigungen von n Atomen und muss damit
> [mm]2^n[/mm] Elemente haben. D.h. wenn du 7 hast, muss noch
> (mindestens) eine fehlen.
Oh, natürlich. Ich trage es oben noch nach. Das war wohl zu früh am Morgen...
Vielen Dank!
Gruß, Diophant
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Vielen Dank für eure Antworten
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> Grundsätzlich enthält eine endliche Sigma-Algebra immer
> alle denkbaren Vereinigungen von n Atomen und muss damit
> [mm]2^n[/mm] Elemente haben. D.h. wenn du 7 hast, muss noch
> (mindestens) eine fehlen.
>
> >
> > Gruß, Diophant
>
Hallo,
ich habe noch eine Frage zu deiner Aussage. Wenn ich z.B. ein [mm] \Omega [/mm] mit 7 Elemente habe, dann ist sind ich der Sigma-Algebra [mm] 2^7 [/mm] Mengen drin?
Und wenn man wie hier in der Aufgabe die kleinste Sigmaalgebra von 2 Mengen bestimmt(z. B. eine Menge hat 6 Elemente und die andere 9 Elemente), dann sind in der kleinsten Sigmaalgebra [mm] 2^9 [/mm] Elemente? Oder existiert dann auf jeden Fall eine Sigmaalegebra mit [mm] 2^9 [/mm] Elementen und man muss dann gucken, welche man weglassen kann, da man ja die kleinste Sigmaalgebra angeben soll.
Lieben Dank
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo,
> Hallo,
> ich habe noch eine Frage zu deiner Aussage. Wenn ich z.B.
> ein [mm]\Omega[/mm] mit 7 Elemente habe, dann ist sind ich der
> Sigma-Algebra [mm]2^7[/mm] Mengen drin?
> Und wenn man wie hier in der Aufgabe die kleinste
> Sigmaalgebra von 2 Mengen bestimmt(z. B. eine Menge hat 6
> Elemente und die andere 9 Elemente), dann sind in der
> kleinsten Sigmaalgebra [mm]2^9[/mm] Elemente?
Das kann man so nicht sagen. Die Mächtigkeit einer endlichen [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist immer eine Zweierpotenz. Auf der anderen Seite kannst du für jede beliebige Grundmenge [mm] \Omega [/mm] und eine Teilmenge [mm]A \subset \Omega[/mm] stets die [mm] \sigma-Algebra
[/mm]
[mm]\left \{ \emptyset, A, A^C, \Omega \right \}[/mm]
bilden und sogar
[mm]\left \{ \emptyset, \Omega \right \}[/mm]
ist eine [mm] \sigma-Algebra.
[/mm]
> Oder existiert dann
> auf jeden Fall eine Sigmaalegebra mit [mm] 2^9 [/mm] Elementen und man
> muss dann gucken, welche man weglassen kann, da man ja die
> kleinste Sigmaalgebra angeben soll.
Ja, genau. Und wie gesagt: nachzählen, damit du von meinem gestrigen Fehler verschont bleibst. 
Gruß, Diophant
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Super. Danke für die schnelle Antwort
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
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