"Kleinstes" Ideal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 So 29.08.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | | Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Für eine Familie [mm] $(a_i)_{i\in{I}} \subset [/mm] R$ zeige man: es existiert ein kleinstes Ideal [mm] $\mathfrak{a} \subset [/mm] R$ mit [mm] $a_i \in \mathfrak{a}$ [/mm] für alle $i [mm] \in [/mm] I$. |
Ich bin mir nicht so sicher ob ich die Aufgabe richtig verstehe.
Wenn ich $R$ als Ideal in $R$ aufasse ist natürlich [mm] $(a_i)_{i\in{I}}$ [/mm] enthalten. Es gibt also ein Ideal, dass die Familie enthält. Impliziert dies nicht auch schon, dass es ein kleinstes Ideal gibt, entweder ein kleineres als $R$ oder eben $R$ selbst?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Viele Grüße, Lippel
|
|
| |
|
Hallo Lippel!
> Sei [mm]R[/mm] ein kommutativer Ring mit Eins. Für eine Familie
> [mm](a_i)_{i\in{I}} \subset R[/mm] zeige man: es existiert ein
> kleinstes Ideal [mm]\mathfrak{a} \subset R[/mm] mit [mm]a_i \in \mathfrak{a}[/mm]
> für alle [mm]i \in I[/mm].
> Ich bin mir nicht so sicher ob ich die
> Aufgabe richtig verstehe.
> Wenn ich [mm]R[/mm] als Ideal in [mm]R[/mm] aufasse ist natürlich
> [mm](a_i)_{i\in{I}}[/mm] enthalten. Es gibt also ein Ideal, dass die
> Familie enthält. Impliziert dies nicht auch schon, dass es
> ein kleinstes Ideal gibt, entweder ein kleineres als [mm]R[/mm] oder
> eben [mm]R[/mm] selbst?
Im endlichen Fall ist das natürlich irgendwie klar.
Aber vergleiche mal dein Problem mit folgendem aus der Analysis:
Man finde das kleinste offene Intervall (a,b), dass [0,1] enthält.
Natürlich gilt [mm] $[0,1]\subset [/mm] (-1,2)$, aber das bedeutet noch nicht, dass es ein kleinstes offenes Intervall gibt.
Vielleicht musst du zur Lösung der Aufgabe eine Art "einsichtige Konstruktion" vorgeben; wenn du zum Beispiel zeigen könntest, dass
$B = [mm] \bigcap_{(a_{i})_{i\in I}\subset A, A Ideal}A$
[/mm]
wieder ein Ideal ist, dann wäre einsichtig, dass es auch das kleinste ist...
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 So 29.08.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo Stefan, vielen dank für deine Antwort!
> Im endlichen Fall ist das natürlich irgendwie klar.
> Aber vergleiche mal dein Problem mit folgendem aus der
> Analysis:
>
> Man finde das kleinste offene Intervall (a,b), dass [0,1]
> enthält.
>
> Natürlich gilt [mm][0,1]\subset (-1,2)[/mm], aber das bedeutet noch
> nicht, dass es ein kleinstes offenes Intervall gibt.
Ok, habe es mir da wohl zu einfach gemacht.
Für endliche Ringe kann man meine Argumentation verwenden, für unendliche nicht.
Aber kann man den Vergleich mit dem ANA-Problem wirklich machen?
Betrachten wir einen unendlichen Ring und darin ein Ideal. Ist dieses Ideal nicht das Nullideal, so ist es auch unendlich (und zwar abzählbar, wenn der Ring abzählbar unendlich viele Elemente enthält, und überabzählbar, wenn der Ring überabzählbar viele Elemente hat). Das lässt sich mithilfe der Abgeschlossenheit des Ideals bei Multiplikation mit Ringelementen zeigen. Also haben alle Ideale (außer das Nullideal) die gleiche "Größe" wie der Ring selbst. Ist also $a [mm] \in (a_i)_{i\in{I}}, [/mm] a [mm] \not= [/mm] 0$, so ist $R$ auch gleichzeitig ein kleinstes Ideal, das $a [mm] \in (a_i)_{i\in{I}}$ [/mm] enthält.
Oder sehe ich hier etwas falsch?
|
|
|
| |
|
Hallo Lippel,
wie du vielleicht ahnst, ist (Lineare) Algebra nicht so meine Stärke, deswegen das Ana-Problem 
> > Man finde das kleinste offene Intervall (a,b), dass [0,1]
> > enthält.
> >
> > Natürlich gilt [mm][0,1]\subset (-1,2)[/mm], aber das bedeutet noch
> > nicht, dass es ein kleinstes offenes Intervall gibt.
>
> Ok, habe es mir da wohl zu einfach gemacht.
> Für endliche Ringe kann man meine Argumentation
> verwenden, für unendliche nicht.
Genau.
> Aber kann man den Vergleich mit dem ANA-Problem wirklich
> machen?
Ich denke schon.
> Betrachten wir einen unendlichen Ring und darin ein Ideal.
> Ist dieses Ideal nicht das Nullideal, so ist es auch
> unendlich (und zwar abzählbar, wenn der Ring abzählbar
> unendlich viele Elemente enthält, und überabzählbar,
> wenn der Ring überabzählbar viele Elemente hat). Das
> lässt sich mithilfe der Abgeschlossenheit des Ideals bei
> Multiplikation mit Ringelementen zeigen. Also haben alle
> Ideale (außer das Nullideal) die gleiche "Größe" wie der
> Ring selbst.
Ja, jetzt wirst du aber zu ungenau für deine exakte Aufgabenstellung.
Bei dem "kleinsten" Ideal geht es ja nicht um Größe im Sinne von abzählbar oder überabzählbar, sondern um Teilmengenbeziehungen.
Beispielsweise ist die Menge aller geraden ganzen Zahl im Sinne der Aufgabenstellung "kleiner" als die Menge aller ganzen Zahlen, weil eben
[mm] $\{2k|k\in\IZ\}\subset \IZ$
[/mm]
gilt. (Du kannst dir diese Mengen jetzt natürlich auch als Ideale über dem Ring [mm] \IZ [/mm] vorstellen).
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 So 29.08.2010 | | Autor: | Lippel |
Danke für die schnelle Hilfe.
Ich dachte bei Aufgabe geht es um die Mächtigkeit der Ideale, d.h. $ [mm] |\{2k|k\in\IZ\}| [/mm] = [mm] |\IZ| [/mm] $. Deine Interpretation der Aufgabenstellung macht aber natürlich mehr Sinn. Mit der Einsicht sehe ich nun auch die Analogie zum Analysis-Problem
Viele Grüße, Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 So 29.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Sei [mm]R[/mm] ein kommutativer Ring mit Eins. Für eine Familie
> [mm](a_i)_{i\in{I}} \subset R[/mm] zeige man: es existiert ein
> kleinstes Ideal [mm]\mathfrak{a} \subset R[/mm] mit [mm]a_i \in \mathfrak{a}[/mm]
> für alle [mm]i \in I[/mm].
ein Hinweis noch im Nachhinein: man kann dieses Ideal auch explizit beschreiben, als [mm] $\{ \sum_{i \in J} \lambda_i a_i \mid \lambda_i \in R, J \subseteq I \text{ endlich } \}$. [/mm] Man kann nachrechnen, dass dies ein Ideal ist, und es enthaelt alle [mm] $a_i$. [/mm] Und jedes Ideal, welches alle [mm] $a_i$ [/mm] enthaelt, muss nach den Idealeigenschaften auch dieses Ideal enthalten, womit es das kleinste ist.
Eine andere Schreibweise ist [mm] $\sum_{i\in I} [/mm] R [mm] a_i$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
|
