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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:05 Mi 13.04.2011 | | Autor: | gfm |
Hallo!
Dies ist eine Fragestellung, die aus einem Strategiespiel heraus entstanden ist. Dort gibt es Planeten, auf denen zufällig generiert bis zu 10 verschiedene Eingeborenenpopulationen vorkommen können. Eine zu spielende Spielerrasse ist die der Borg, welche Schiffe mit Bioscannern besitzt, die solche Populationen aus der Entfernung orten können. Zwei der Eingeborenenrassen senden Hilferufe in die Galaxis an andere Spieler, wenn ihnen Borgschiffe zu nahe kommen und verraten so die Position des Borgspielers. Das Ziel ist es, die Anzahl der Bioscannerschiffe zubestimmen, so dass das Restrisiko, eine Population, die Hilferufe senden kann, nicht zu orten, unter einer vorgegebenen Grenze bleibt.
Die Fakten:
a) Verteilung der Eingeborenen
Die Eingeborenenpopulationen werden nach folgendem Schema zufällig generiert:
[mm]N(i,k) = 1_{[0,\frac{8}{100}]}\left(R^{(i,k)}_1\right)*\left(10^5*g*R^{(i,k)}_2*1_{[0,\frac{g}{10}]}\left(R^{(i,k)}_3\right)+10^4*R^{(i,k)}_4*1_{(\frac{g}{10},1]}\left(R^{(i,k)}_3\right)*1_{[0,\frac{20}{100}]}\left(R^{(i,k)}_4\right)\right)[/mm]
Dabei ist [mm]i\in\{1,2,3,...,10\}[/mm] und bezeichnet die Eingeborenenart. [mm]k[/mm] ist der Index für die Planeten und [mm]g\in\{0,1,2,3,4,5\}[/mm] parametrisiert den Eingeborenenreichtum in der Galaxis. [mm]R^{(i,k)}_j[/mm] sind unabhängige und gleichverteilte ZVn mit Werten im Intervall [mm][0,1][/mm].
In Worten: Auf jedem Planeten wird unabhängig für jede einzelne Eingeborenenrasse die Populationsgröße wie folgt ausgewürfelt:
In 92% der Fälle ist die Rasse nicht vertreten. In den verbleibenden 8% der Fälle wird in 10*g [%] der Fälle eine Zahl zwischen null und [mm] 10^5*g [/mm] gewählt und in den verbleibenden (100-10*g)[%] der Fälle wird in 20% der Fälle eine Zahl zwischen 0 und [mm] 10^4 [/mm] gewählt.
b) Bioscan-Prozess
Befindet sich ein Planet k in Reichweite eines Schiffes mit einem Bioscanner, so findet folgender Zufallsprozess statt:
i) [mm]S^{(k)}:=\summe_{i=1}^{10} N(i,k)[/mm]
ii) [mm]T^{(k)}:=1_{(1000,\infty)}(S{(k)})*1_{[0,\frac{1}{25}]}(R^{(k)}_1)+1_{(50000,\infty)}(S^{(k)})*1_{[0,\frac{1}{10}]}(R^{(k)}_2)+1_{(100000,\infty)}(S^{(k)})*1_{[0,\frac{1}{5}]}(R^{(k)}_3)[/mm]
iii) [mm]U^{(k)}:=1_{\{1,2,3\}}(T^{(k)})[/mm]
Der Planet gilt als gescannt, wenn [mm]U^{(k)}=1[/mm] ist.
In Worten: Hat der Planet insgesamt mehr als 1000 Eingeborene, gibt es eine Chance von 4%, dass er gescannt wird. Hat er mehr als 50000, gibt eine zweite 10% Chance, dass er gescannt wird und schließlich bei mehr als 100000 gibt es eine weitere Chance von 20%, dass er gescannt wird.
Dieser Prozess findet unabhängig für jedes Planeten/Bioscanner-Paar statt, deren Abstand kleiner oder gleich der Reichweite des Scanners ist.
Die kritischen Punkte sind nun:
1) Es gibt Planeten mit einer Gesamtpopulation [mm] \le1000, [/mm] welche mindestens eine der zwei hilferufenden Rassen enthält. Solche Populationen werden nie gescannt.
2) Es kann der Fall sein, dass auch Gesamtpopulationen (GP) über 1000 mit hilferufenden Rassen nicht gescannt werden.
Die Frage ist nun:
Wenn ein gegebener Planet in Reichweite von B Bioscannern nicht gescannt wurde, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass er hilferufende Eingeborene (HE) beherbergt?
Meine Idee:
i) Finde für einen einzelnen Planeten:
[mm] P_1=P(\{HE \mbox{ vorhanden}\}\cap\{GP\in[1,1000]\}) [/mm]
[mm] P_2=P(\{HE \mbox{ vorhanden}\}\cap\{GP\in(1000,50000]\}) [/mm]
[mm] P_3=P(\{HE \mbox{ vorhanden}\}\cap\{GP\in(50000,100000]\}) [/mm]
[mm] P_4=P(\{HE \mbox{ vorhanden}\}\cap\{GP\in(100000,\infty)\}) [/mm]
ii) Finde für ein einzelnes Bioscanner-Planeten-Paar:
[mm] S_2=P(\{\mbox{Kein Scan}\}|\{GP\in(1000,50000]\}) [/mm]
[mm] S_3=P(\{\mbox{Kein Scan}\}|\{GP\in(50000,100000]\}) [/mm]
[mm] S_4=P(\{\mbox{Kein Scan}\}|\{GP\in(100000,\infty)\}) [/mm]
Dann wäre die Wahrscheinlichkeit, dass er nicht gescannt wird,
[mm] P=P_1+P_2*S_2+P_3*S_3+P_4*S_4.
[/mm]
Und wenn wir B Bioscanner um diesen Planeten herum betrachten, würde man
[mm] P_B:=P_1+P_2*S_2^B+P_3*S_3^B+P_4*S_4^B
[/mm]
für die Wahrscheinlichkeit setzen, dass er nicht gescannt wird.
Richtig?
Vielen Dank im Voraus
gfm
P.S.: Die Frage ist nur auf matheraum.de gepostet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Do 14.04.2011 | | Autor: | gfm |
Hallo!
Losgelöst von dem obigen Problem kann man die Frage auch wie folgt stellen:
Gegeben seien endlich viele (mehr als zwei) unabh. und identisch verteilte ZV
[mm]X_i:\Omega\to[0, a][/mm]
mit der Verteilung [mm]F[/mm]. [mm]a[/mm] sei größer als null.
Es gelte für [mm]t\in[0,a)[/mm]: [mm]0
In einem Meßprozess wird deren Summe [mm]S=\summe_{i=1}^n X_i[/mm] gemessen:
[mm] M_i:=\summe_{j=1}^k 1_{(b_j,\infty)}(S)*B_j^{(i)}
[/mm]
wobei die [mm] B_j^{(i)} [/mm] untereinander und zu den [mm] X_r [/mm] unabh. Bernoulli-ZV mit den Parametern [mm] 0
[mm] M_i>0 [/mm] bedeutet dann das (zufällige) Registrieren von [mm]S>0[/mm]
Gesucht ist [mm]P(X_1+X_2>0|M_i=0)[/mm] bzw. [mm]P(X_1+X_2>0|M_1+...+M_L=0)[/mm].
Obwohl der Meßprozess kein [mm]S>0[/mm] registriert, sind zwei als kritisch betrachtete ZV in ihrer Summer größer als null.
Im Endeffekt interessiert, wie groß [mm]L[/mm] sein muss, damit [mm] P(X_1+X_2>0|M_1+...+M_L=0) [/mm] hinreichend klein wird. Denn an der Verteilung der [mm] X_i [/mm] kann man nichts mehr ändern. Man will eine vorgelegte (unbeobachtete) Realisierung der Summe der [mm] X_i [/mm] "scannen". Wenn sie (hinreichend) größer als null ist, gibt es eine von null verschiedene Chance, dass man registriert, dass sie größer als null ist und dann bekommt man auch die genaue Zahl der einzelnen [mm] X_i [/mm] mitgeteilt (und weiß dann auch, ob [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] größer als null ist). Nun kann es passieren, dass nach L-fachem Messen nicht registriert wurde, dass S>0 ist. Das kann daran liegen, dass entweder alle [mm] X_i [/mm] gleich null sind oder dass deren Summe kleiner oder gleich [mm] b_1 [/mm] ist oder dass der Zufall es so wollte, obwohl die Summe über [mm] b_1 [/mm] liegt. Wenn also S>0 nicht registriert wurde, wie groß ist dann die Chance, dass trotzdem [mm] X_1+X_2>0 [/mm] der Fall ist?
Ist [mm] P(X_1+X_2>0|M_1+...+M_L=0) [/mm] der Term, der zur Entscheidung des obigen Problems herangezogen werden muss?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 17.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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