Kniffeln < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 So 16.01.2011 | | Autor: | Tizian |
| Aufgabe | | Verallgemeinerung: n Laplace-Würfel (n>4) werden gleichzeitig geworfen. Entwickeln Sie eine Formel für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau k Würfel mindestens die Augenzahl "5" zeigen und höchstens einer eine "1" (mit k+1<=n) zeigt. |
In meiner Rechnung, die nach dem Lösungsbuch falsch ist, gehe ich von zwei verschiedenen Wahrscheinlichkeiten aus: P("k-mal 5/6 bei n Würfeln") [mm] =P(E_{1}) [/mm] und P("maximal eine 1 bei n Würfen") [mm] =P(E_{2}).
[/mm]
Nach meinem Verständnis ist [mm] P(E_{1}) \cap P(E_{2}) [/mm] gesucht, sodass ich beide am Ende miteinander multipliziere.
[mm] P(E_{1})
[/mm]
Bernoulli-Experiment
n>4
k--> Anzahl an 5/6
p=1/3
[mm] P(E_{1})= \vektor{n \\ k}*(\bruch{1}{3})^{k}*(\bruch{2}{3})^{n-k}
[/mm]
-------------------------------------------------
[mm] P(E_{2})
[/mm]
n>4
0<=k<=1
[mm] p=\bruch{1}{6}
[/mm]
[mm] P(E_{2})=P(X=0)+P(X=1)
[/mm]
[mm] P(E_{2})= \vektor{n \\ 0}*(\bruch{5}{6})^{n} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 1}*(\bruch{1}{6})^{1}(\bruch{5}{6})^{n-1}
[/mm]
Daraus habe ich dann geschlossen:
[mm] P(E_{1}) \cap P(E_{2}) [/mm] = [mm] (\vektor{n \\ k}*(\bruch{1}{3})^{k}* (\bruch{2}{3})^{n-k})*( \vektor{n \\ 0}*(\bruch{5}{6})^{n} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 1}*(\bruch{1}{6})^{1}(\bruch{5}{6})^{n-1})
[/mm]
[mm] P(E_{1}) \cap P(E_{2}) [/mm] = [mm] (\vektor{n \\ k}*(\bruch{1}{3})^{k}* (\bruch{2}{3})^{n-k})*((\bruch{5}{6})^{n} [/mm] + [mm] n*\bruch{1}{6}*(\bruch{5}{6})^{n-1})
[/mm]
Ich bitte an dieser Stelle um Korrektur, wo liegt mein Fehler?
Hinweis: IM Lösungsbuch ist folgende Formel angegeben:
[mm] (\vektor{n \\ k}*(\bruch{1}{3})^{k}* (\bruch{2}{3})^{n-k})*((\bruch{3}{4})^{n-k} [/mm] + [mm] \vektor{n-k \\ 1}*\bruch{1}{4}*(\bruch{3}{4})^{n-k-1})
[/mm]
ps/ Habe diese Frage nur in diesem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 So 16.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das Problem ist, dass die 2 Bedingungen nicht unabhängig voneinander sind. Also du kannst nicht [mm] P(E_1 \cap E_2)=P(E_1)*P(E_2) [/mm] machen.
Geh stattdessen so ran:
[mm] P(E_1 \cap E_2)=P(E_2|E_1)*P(E_1). [/mm]
Dann ist [mm] P(E_{1})=\vektor{n \\ k}\cdot{}(\bruch{1}{3})^{k}\cdot{}(\bruch{2}{3})^{n-k}, [/mm] wie du ja selber richtig berechnet hast und wie es auch in der Lösung steht.
Und bei der Berechnung von [mm] P(E_2|E_1) [/mm] weißt du dann, dass schon genau k Würfel 5 oder 6 zeigen. Das heißt, willst du jetzt ausrechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit höchstens eine 1 geworfen wird, dann musst du das unter der Voraussetzung machen, dass schon k Würfe gemacht wurden (daher steht in der Lösung n-k statt n) und in den restlichen n-k Würfen kann keine 5 und keine 6 mehr vorkommen, da man dann mehr als k 5en oder 6en hätte. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, unter der Bedingung E2 noch eine 1 zu bekommen, nicht nur [mm] \bruch{1}{6}, [/mm] sondern [mm] \bruch{1}{4}.
[/mm]
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