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| Aufgabe | | Man zeige, die Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist stets durch drei teilbar. |
Hallo Leute!
... wie ich sehe eine recht einfache Knobelaufgabe, aber immerhin auch keine typische Aufgabe aus der Schule...
Viel Spaß!
Mit den besten Grüßen
Goldener_Sch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Cool-Y |
Hi Goldener Schnitt,
Drei aufeinander folgende Zahlen sind: n, n+1, n+2.
Deren Summe ist: n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3*(n+1), also durch drei teilbar.
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Hallo Mario!!!
... und einen schönen Tag!
Super, genau den Lösungsansatz hatte ich auch. Ich denke, man kann das ganze aber noch ein bisschen "besser" machen:
Eine Folge aus drei aufeinanderfolgenden natürlich Zahlen kann nur zwei verschiedene Fälle dastellen:
[mm]g_1+u+g_2=Summe_1[/mm]
oder
[mm]u_1+g+u_2=Summe_2[/mm]
Also follte man beide Fälle abdecken:
Sei also [mm]k\in\IN[/mm], so läßt sich er erste Fall mit Sicherheit so dastellen:
[mm]2k+(2k+1)+(2k+2)=Summe_1[/mm]
Was sich zusammenfassen läßt zu:
[mm]6k+3=3*(2k+1)=Summe_1[/mm]
Somit ist die geforderte Aussage für den ersten Fall, die erste Summe gebracht.
Entsprechende gilt dann für den zweiten Fall:
[mm](2k-1)+(2k)+(2k+1)=Summe_2[/mm]
Was sich zusammenfassen läßt zu:
[mm]6k=3*(2k)=Summe_2[/mm]
Somit ist auch für den zweiten Fall, also für alle möglichen Fälle gezeigt!
q.e.d.
Mit den besten (Spät- Mittags-  ) Grüßen
Goldener_Sch.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Di 17.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Goldener Schnitt!
Diese Lösung ist nicht besser, sondern (ohne Not) umständlicher. Du unterscheidest die beiden Fälle "zwei gerade und eine ungerade Zahl" sowie "zwei ungerade und eine gerade Zahl". Das aber ist völlig unerheblich, wie man an Marios Lösung sieht.
Egal, deine Lösung ist ja trotzdem richtig. 
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 Mi 15.02.2006 | | Autor: | Brinki |
Man erkennt auch an der ersten Version auch, dass die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen genau das dreifache der mittleren Zahl ist.
Ist ja auch klar, denn die größte Zahl gibt eins an die kleinste Zahl ab, dann sind alle drei Zahlen gleich groß.
Die Unterscheidung in g+u+g und u+g+u bringt auch keine neuen Erkenntnisse.
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