Koeffizientenmatrix bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Mo 15.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Sei V= [mm] \IR^3, B_v [/mm] die kanonische Basis und [mm] \phi: \IR^3 \to \IR^3 [/mm] ein Homomorphismus mit Koeffizientenmatrix
[mm] A=\bruch{1}{2} \pmat{ 5 & 0 & -1 \\ 4 & 6 & -4 \\ 3 & 0 & 1 } [/mm] bzgl. des Basispaares [mm] B_v,B_v [/mm] .
Die Matrix A hat die Eigenwerte 1,2,3.
Bestimmen Sie eine Basis B'_v, so dass die Koeffizientenmatrix A' von [mm] \phi [/mm] bzgl. des Basispaares B'_v,B'_v Diagonalgestalt hat. |
Hallo zusammen,
wollte diese Aufgabe mal als Übung machen...
Habe dann in der Musterlösung geschaut was gemacht wurde aber verstehe die Schritte einfach nicht...
vllt kann mir das ja jemand erklären:
Da steht, dass das Lösen der Gleichungen A
[mm] +v_i [/mm] = [mm] i*v_i [/mm] mit i=1,2,3 liefert die Eigenvektoren [mm] v_1= \vektor{1 \\ 2 \\3}
[/mm]
[mm] v_2= \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, v_3= \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
was wurde hier z.B. gemacht? wurde die Matrix A einfach nur mit 1,2 und 3 multipliziert?
Dann weiter:
Bzgl. der Basis [mm] B_v= (v_1,v_2,v_3) [/mm] hat die Koeffizientenmatrix dann wegen [mm] Av_i= i*v_i [/mm] die Gestalt
A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 &0 \\ 0 & 0 & 3}
[/mm]
wie komm ich denn jetzt aufeinmal auf diese MAtrix wenn doch vorher ganz andere Vektoren ausgerechnet wurden?
Vllt kann mir das ja jemand erklären...danke!
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Hallo peeetaaa,
> Sei V= [mm]\IR^3, B_v[/mm] die kanonische Basis und [mm]\phi: \IR^3 \to \IR^3[/mm]
> ein Homomorphismus mit Koeffizientenmatrix
>
> [mm]A=\bruch{1}{2} \pmat{ 5 & 0 & -1 \\ 4 & 6 & -4 \\ 3 & 0 & 1 }[/mm]
> bzgl. des Basispaares [mm]B_v,B_v[/mm] .
> Die Matrix A hat die Eigenwerte 1,2,3.
> Bestimmen Sie eine Basis B'_v, so dass die
> Koeffizientenmatrix A' von [mm]\phi[/mm] bzgl. des Basispaares
> B'_v,B'_v Diagonalgestalt hat.
> Hallo zusammen,
>
> wollte diese Aufgabe mal als Übung machen...
> Habe dann in der Musterlösung geschaut was gemacht wurde
> aber verstehe die Schritte einfach nicht...
> vllt kann mir das ja jemand erklären:
>
> Da steht, dass das Lösen der Gleichungen A
> [mm]+v_i[/mm] = [mm]i*v_i[/mm] mit i=1,2,3 liefert die Eigenvektoren [mm]v_1= \vektor{1 \\ 2 \\3}[/mm]
>
> [mm]v_2= \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, v_3= \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> was
> wurde hier z.B. gemacht? wurde die Matrix A einfach nur mit
> 1,2 und 3 multipliziert?
Nein, es wurde hier die Lösungsmenge der Gleichung
[mm]\left(A-i*E\right)*v_{i}=\vec{0}[/mm]
bestimmt, wobei E die Einheitsmatrix ist.
> Dann weiter:
> Bzgl. der Basis [mm]B_v= (v_1,v_2,v_3)[/mm] hat die
> Koeffizientenmatrix dann wegen [mm]Av_i= i*v_i[/mm] die Gestalt
> A= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 &0 \\ 0 & 0 & 3}[/mm]
> wie komm
> ich denn jetzt aufeinmal auf diese MAtrix wenn doch vorher
> ganz andere Vektoren ausgerechnet wurden?
>
> Vllt kann mir das ja jemand erklären...danke!
Nun, der Vektor [mm]\vec{x}[/mm] als auch der Bildvektor [mm]\vec{y}[/mm]
wurden hier jeweils zur Basis [mm]B_{v}[/mm] dargestellt.
Es gilt dann
[mm]\vec{y}=B_{v}*\vec{y'}[/mm]
[mm]\vec{x}=B_{v}*\vec{x'}[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm]\vec{y}=A*\vec{x} \gdw B_{v}*\vec{y'}=A*B_{v}*\vec{x'}[/mm]
Somit ist
[mm]\vec{y'}=B_{v}^{-1}*A*B_{v}*\vec{x'}[/mm]
Die Matrix [mm]B_{v}^{-1}*A*B_{v}[/mm] ist jetzt die Koeffizientmatrix A'.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Di 16.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
hab jetzt mal versucht auf die Vektoren [mm] v_1,v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] zu kommen aber krieg das nicht hin...
Also muss ja
[mm] \left(A-i\cdot{}E\right)\cdot{}v_{i}=\vec{0} [/mm] rechnen aber woher weiß ich was [mm] v_i [/mm] ist?
[mm] A=\bruch{1}{2} \pmat{ 5 & 0 & -1 \\ 4 & 6 & -4 \\ 3 & 0 & 1 }- \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
das liefert ja
[mm] \bruch{1}{2} \pmat{ 4 & 0 & -1 \\ 4 & 5 & -4 \\ 3 & 0 & 0 }
[/mm]
aber was macht man jetzt?
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Hallo peeetaaa,
> hab jetzt mal versucht auf die Vektoren [mm]v_1,v_2[/mm] und [mm]v_3[/mm] zu
> kommen aber krieg das nicht hin...
>
> Also muss ja
>
> [mm]\left(A-i\cdot{}E\right)\cdot{}v_{i}=\vec{0}[/mm] rechnen aber
> woher weiß ich was [mm]v_i[/mm] ist?
>
> [mm]A=\bruch{1}{2} \pmat{ 5 & 0 & -1 \\ 4 & 6 & -4 \\ 3 & 0 & 1 }- \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> das liefert ja
>
> [mm]\bruch{1}{2} \pmat{ 4 & 0 & -1 \\ 4 & 5 & -4 \\ 3 & 0 & 0 }[/mm]
Das ist nicht korrekt.
Den Faktor [mm]\bruch{1}{2}[/mm] mußt Du in die Matrix reinziehen.
Heisst jedes Element der Matrix wird mir diesem Faktor multipliziert.
Von dieser Matrix ziehst Du nun Einheitsmatrix ab:
[mm]\bruch{1}{2} \pmat{ 5 & 0 & -1 \\ 4 & 6 & -4 \\ 3 & 0 & 1 }- \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }=\pmat{ \red{\bruch{1}{2}}*5 & \red{\bruch{1}{2}}*0 & \red{\bruch{1}{2}}*\left(-1\right) \\ \red{\bruch{1}{2}}*4 & \red{\bruch{1}{2}}*6 & \red{\bruch{1}{2}}*\left(-4\right) \\ \red{\bruch{1}{2}}*3 & \red{\bruch{1}{2}}*0 & \red{\bruch{1}{2}}*1 }- \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> aber was macht man jetzt?
Dann berechnest Du die Lösungsmenge der Gleichung
[mm]\left( \ \pmat{ \bruch{1}{2}*5 & \bruch{1}{2}*0 & \bruch{1}{2}*\left(-1\right) \\ \bruch{1}{2}*4 & \bruch{1}{2}*6 & \bruch{1}{2}*\left(-4\right) \\ \bruch{1}{2}*3 & \bruch{1}{2}*0 & \bruch{1}{2}*1 }- \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } \ \right) * v_{1}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
,wobei [mm]v_{1} \in \IR^{3}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Di 16.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Japp hab ich auch gemerkt! Habs jetzt gerafft! Danke!!! ;)
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