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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | | Die Matrizen der Form [mm] \pmat{ a & -b \\ b & a } [/mm] mit a, b ∈ R bilden einen Körper bzgl. Matrizenaddition und -multiplikation. Dieser Körper kann mit dem Körper der komplexen Zahlen identifiziert werden. |
hallo,
also ehrlich gesagt verstehe ich noch nich mal was man bei dieser aufgabe überhaupt zeigen soll und wenn es die körpereigenschaften sind, frage ich mich irgendwie wie man zb die kommutativität zeigen soll, da die matrix ja schon aus a und b besteht? kann mir da zufällig jemand weiterhelfen? danke wie immer vorweg :)
gruß fawkes
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Hallo Fawkes,
> Die Matrizen der Form [mm]\pmat{ a & -b \\ b & a }[/mm] mit a, b
> ∈ R bilden einen Körper bzgl. Matrizenaddition und
> -multiplikation. Dieser Körper kann mit dem Körper der
> komplexen Zahlen identifiziert werden.
> hallo,
> also ehrlich gesagt verstehe ich noch nich mal was man bei
> dieser aufgabe überhaupt zeigen soll und wenn es die
> körpereigenschaften sind, frage ich mich irgendwie wie man
> zb die kommutativität zeigen soll, da die matrix ja schon
> aus a und b besteht?
Das verstehe ich nicht ...
> kann mir da zufällig jemand
> weiterhelfen?
Nun, es gilt in der Tat die Körpereigenschaften nachzuweisen.
Für die erwähnte Kommutativität nimm dir zwei Matrizen der obigen Form her, etwa [mm] $A=\pmat{a&-b\\b&a}$ [/mm] und [mm] $B=\pmat{c&-d\\d&c}$ [/mm] und berechne [mm] $A\cdot{}B$ [/mm] und [mm] $B\cdot{}A$
[/mm]
Es sollte dasselbe herauskommen, bedenke, dass die Matrixmultiplikation ja hier auf die Addition und Multiplikation reeller Einträge zurückgeführt wird, dort gelten das "normale" Kommutativ- und Assoziativgesetz
Identifizieren kannst du $z=a+ib [mm] \sim \pmat{a&-b\\b&a}$
[/mm]
Welche Matrix entspricht dann der komplexen Zahl i? Welche Matrizen beschreiben rein reelle Zahlen?
> danke wie immer vorweg :)
> gruß fawkes
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
also die ganzen körpereigenschaften hab ich schon alle soweit gezeigt, womit ich noch ein wenig verständnisschwierigkeiten hab ist die sache mit der komplexität. wenn ich als matrix i jetzt zb [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } [/mm] kann man dann anschließend ja das b reinziehen, nur wie kann man das a davor betrachten einfach als A = [mm] \pmat{ a11 & a12 \\ a21 & a22 }??? [/mm] oder gehst du mit dem z alle vier einträge einzeln durch und möchtest dann z11=a+b*1/b und so weiter haben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
hat nich zufällig jemand eine idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mo 08.06.2009 | | Autor: | chrisno |
Kannst Du das noch mal in Ruhe aufschreiben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
klar kein problem:
also es geht eben um die oben genannte aufgabe. bei dieser hab ich nun schon die körpereigenschaften bzgl. der addition und multiplikation nachgewiesen. was ich aber nun noch machen muss ist die identifizierung mit dem körper der komplexen zahlen nachzuweisen. leider verstehe ich in diesem zusammenhang die anregung von schachuzipus nich so ganz. nach ihm soll man ja jetzt für i eine matrix suchen, die z=a+bi = die gegebene matrix erfüllt. leider weiß ich nun aber nich wie man bei egal welcher matrix das a aus der gleichung z=a+ib dann in die gleichung reinzieht, da man hinterher ja stehen hat zb: [mm] z=a+\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }*b??? [/mm] tut mir leid aber verständlicher kann ich es einfach nich beschreiben :(
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Hallo nochmal,
> klar kein problem:
> also es geht eben um die oben genannte aufgabe. bei dieser
> hab ich nun schon die körpereigenschaften bzgl. der
> addition und multiplikation nachgewiesen. was ich aber nun
> noch machen muss ist die identifizierung mit dem körper der
> komplexen zahlen nachzuweisen. leider verstehe ich in
> diesem zusammenhang die anregung von schachuzipus nich so
> ganz. nach ihm soll man ja jetzt für i eine matrix suchen,
Das solltest du nicht für die Identifizierung tun, das sollte lediglich deinem Verständnis dafür dienen, welche Matrizen mit welchen komplexen Zahlen korrespondieren.
So korrespondiert die Matrix [mm] $\pmat{0&-1\\1&0}$ [/mm] mit der komplexen Zahl [mm] $z=0+1\cdot{}i=i$ [/mm] und die Matrizen [mm] $\pmat{a&0\\0&a}$ [/mm] mit den reellen Zahlen [mm] $z=a+0\cdot{}i=a$
[/mm]
> die z=a+bi = die gegebene matrix erfüllt. leider weiß ich
> nun aber nich wie man bei egal welcher matrix das a aus der
> gleichung z=a+ib dann in die gleichung reinzieht, da man
> hinterher ja stehen hat zb: [mm]z=a+\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }*b???[/mm]
> tut mir leid aber verständlicher kann ich es einfach nich
> beschreiben :(
Suche eine ganz ganz naheliegende Bijektion zwischen [mm] $\IC$ [/mm] und dem Körper dieser Matrizen, nennen wir ihn mal $M$
Also gib mal eine bijektive Abbildung [mm] $\varphi:\IC\to [/mm] M$ an, die ein [mm] $z=a+ib\in\IC$ [/mm] abbildet auf ....
Zeige dann die Bijektivität ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
erstmal noch mal danke für deine mühen. den ersten teil mit dem korrespondieren und so hab ich auch verstanden, nur bei bijektion und so hört es dann leider auf :( zwar verstehe ich schon teile davon, da ich mir diese schon angeeignet hab, in der vorlesung sind wir aber noch lange nich so weit und somit darf ich damit die aufgabe auch nich lösen. gibt es denn noch einen anderen weg oder muss man das mit der identifizierung gar nicht zeigen?
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Hallo nochmal,
> erstmal noch mal danke für deine mühen. den ersten teil mit
> dem korrespondieren und so hab ich auch verstanden, nur bei
> bijektion und so hört es dann leider auf :(
Na, das glaube ich nicht so ganz, es ist doch mehr als naheliegend als Abbildung folgendes zu versuchen:
[mm] $\varphi:\IC\to [/mm] M$
[mm] $z=a+ib\mapsto\pmat{a&-b\\b&a}$
[/mm]
Versuche mal zu zeigen, dass die so definierte Abbildung bijektiv ist
Zeige dazu:
1) [mm] $\varphi$ [/mm] ist injektiv
2) [mm] $\varphi$ [/mm] ist surjektiv
Das hattet ihr bestimmt schon.
Für 1) nimm dir [mm] $z_1=a_1+ib_1$ [/mm] und [mm] $z_2=a_2+ib_2\in\IC$ [/mm] her mit [mm] $\varphi(z_1)=\varphi(z_2)$ [/mm] und zeige, dass dann [mm] $z_1=z_2$ [/mm] gelten muss
Für 2) gib dir eine beliebige Matrix [mm] $\pmat{x&-y\\y&x}\in [/mm] M$ vor und suche ein [mm] $z\in\IC$, [/mm] das auf diese Matrix abgebildet wird
Das ist ein Einzeiler 
> zwar verstehe
> ich schon teile davon, da ich mir diese schon angeeignet
> hab, in der vorlesung sind wir aber noch lange nich so weit
> und somit darf ich damit die aufgabe auch nich lösen. gibt
> es denn noch einen anderen weg oder muss man das mit der
> identifizierung gar nicht zeigen?
Es ist im Grunde so offensichtlich, dass du es einfach "sagen" oder schreiben kannst ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
wie gesagt danke für deine mühen. hab das auch jetzt alles soweit verstanden, nur leider darf ich es für diese aufgabe nur für mich persönlich nutzen nich aber als allgemeine lösung, da wir wie gesagt lineare abbildungen noch überhaupt nich hatten und ich somit auf surjektiv geschweige denn auf bilinearformen nicht zurückgreifen kann. wünsche trotzdem noch einen schönen abend, für heute geb ichs nämlich auf...
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