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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 Di 18.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe mal eine ganz dumme Frage zu Körpern, bzw. zur Kommutativität von Abbildungen.
Ich hab ja zwei Abbildungen gegeben (Addition und Multiplikation), und damit das ganze einen Körper bildet, müssen ja noch die Körperaxiome gelten.
So, und jetzt hab ich hier stehen, dass die Abbildungen Addition und Multiplikation kommutativ sind.
Also klar weiß ich aus der Schule was kommutativ ist.
Aber was heißt es allgemein, wenn eine Abbildung kommutativ ist?
Worauf bezieht sich das (Definitonsbereich, Wertebereich,...)?
Was für Abbilduneg können überhaupt kommutativ sein (nur solche, wo ich ein Tupel einsetzen muss?)?
Kann ich z.B. über die Abbildung [mm] $f(x)=x^4$ [/mm] irgendwas über Kommutativität sagen?
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
> Hallo zusammen!
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> Ich habe mal eine ganz dumme Frage zu Körpern, bzw. zur
> Kommutativität von Abbildungen.
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> Ich hab ja zwei Abbildungen gegeben (Addition und
> Multiplikation), und damit das ganze einen Körper bildet,
> müssen ja noch die Körperaxiome gelten.
>
> So, und jetzt hab ich hier stehen, dass die Abbildungen
> Addition und Multiplikation kommutativ sind.
>
> Also klar weiß ich aus der Schule was kommutativ ist.
>
> Aber was heißt es allgemein, wenn eine Abbildung
> kommutativ ist?
Nennen wir den Körper mal [mm] $\mathbb{K}$ [/mm] (du kannst dir einfach auch [mm] $\IR$ [/mm] vorstellen)
Dann ist die Addition + definiert als eine innere zweistellige Verknüpfungung [mm] $+:\mathbb{K}\times\mathbb{K}\to\mathbb{K}, [/mm] \ [mm] (x,y)\mapsto [/mm] x+y$
Und Kommutativität bedeutet, dass für alle [mm] $(x,y)\in\mathbb{K}\times\mathbb{K}$ [/mm] gilt: $x+y=y+x$
Analog für [mm] $\cdot{}$
[/mm]
>
> Worauf bezieht sich das (Definitonsbereich,
> Wertebereich,...)?
> Was für Abbilduneg können überhaupt kommutativ sein
> (nur solche, wo ich ein Tupel einsetzen muss?)?
Bei Körpern ja, es werden Paare von Körperelementen auf Körperelemente abgebildet.
Möglich sind auch mehrstellige Verknüpfungen, etwa von [mm] $\IR\times\IR\times\IR\to\IR$ [/mm] mit [mm] $(x,y,z)\mapsto x\cdot{}y\cdot{}z$
[/mm]
Die ist ja sicher auch kommutativ ...
>
> Kann ich z.B. über die Abbildung [mm]f(x)=x^4[/mm] irgendwas über
> Kommutativität sagen?
Nein, dies ist ja "nur" eine einstellige Verknüpfung (oder Abbildung)
>
> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Di 18.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo schachuzipus!
Danke für deine Antwort.
> Dann ist die Addition + definiert als eine innere
> zweistellige Verknüpfungung
> [mm]+:\mathbb{K}\times\mathbb{K}\to\mathbb{K}, \ (x,y)\mapsto x+y[/mm]
Was genau bedeutet innere zweistellige Verknüpfungung?
Dieser Begriff ist in unseren Vorlesungen nie gefallen (weder in Ana noch in LA).
> > Was für Abbilduneg können überhaupt kommutativ sein
> > (nur solche, wo ich ein Tupel einsetzen muss?)?
>
> Bei Körpern ja, es werden Paare von Körperelementen auf
> ein Körperelement abgebildet.
>
> Möglich sind auch mehrstellige Verknüpfungen, etwa von
> [mm]\IR\times\IR\times\IR\to\IR[/mm] mit [mm](x,y,z)\mapsto x\cdot{}y\cdot{}z[/mm]
>
> Die ist ja sicher auch kommutativ ...
Also können nur Abbildungen kommutativ sein, in die ich zwei oder mehr Werte reinstecke, richtig?
Und kommutativ bedeutet dann, dass es beim Berechnen des Funktionswertes egal ist, in welcher Reihenfolge ich die Dinge miteinander verrechne?
In deinem Beispiel also ist es für die Berechnung des Funktionswertes egal, ob ich [mm] $x\cdot{}y\cdot{}z$ [/mm] oder [mm] $z\cdot{}x\cdot{}y$ [/mm] rechne?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Di 18.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> > Dann ist die Addition + definiert als eine innere
> > zweistellige Verknüpfungung
> > [mm]+:\mathbb{K}\times\mathbb{K}\to\mathbb{K}, \ (x,y)\mapsto x+y[/mm]
>
> Was genau bedeutet innere zweistellige Verknüpfungung?
> Dieser Begriff ist in unseren Vorlesungen nie gefallen
> (weder in Ana noch in LA).
Nur ein "ung" 
Allgemein gesprochen: Eine n-stellige Verknüpfung V ist eine Abbildung von einem n-fachen kartesischen Produkt:
[mm] V: A_1\times A_2 \times \dots \times A_n \to B [/mm],
also
[mm] V(a_1,a_2,\dots,a_n) = b [/mm]
Zweistellig bedeutet einfach [mm]n=2[/mm].
Bei einer inneren Verknüpfung sind alle beteiligen Mengen gleich: [mm] $A_1 [/mm] = [mm] A_2 [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] A_n [/mm] = B$, also
[mm] V: \underbrace{B\times \dots \times B}_{\text{$n$-mal}} \to B [/mm]
>
>
>
> > > Was für Abbilduneg können überhaupt kommutativ sein
> > > (nur solche, wo ich ein Tupel einsetzen muss?)?
> >
> > Bei Körpern ja, es werden Paare von Körperelementen auf
> > ein Körperelement abgebildet.
> >
> > Möglich sind auch mehrstellige Verknüpfungen, etwa von
> > [mm]\IR\times\IR\times\IR\to\IR[/mm] mit [mm](x,y,z)\mapsto x\cdot{}y\cdot{}z[/mm]
>
> >
> > Die ist ja sicher auch kommutativ ...
>
> Also können nur Abbildungen kommutativ sein, in die ich
> zwei oder mehr Werte reinstecke, richtig?
Ja, wenn du nur ein Argument hast, ist ja nichts da zum Vertauschen.
> Und kommutativ bedeutet dann, dass es beim Berechnen des
> Funktionswertes egal ist, in welcher Reihenfolge ich die
> Dinge miteinander verrechne?
> In deinem Beispiel also ist es für die Berechnung des
> Funktionswertes egal, ob ich [mm]x\cdot{}y\cdot{}z[/mm] oder
> [mm]z\cdot{}x\cdot{}y[/mm] rechne?
Richtig.
In anderem Zusammenhang (wenn es keine innere Verknüpfung ist) spricht man auch von symmetrisch. Beispiel: das Skalarprodukt von Vektoren.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Di 18.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
Vielen Dank, das habe ich verstanden 
Wenn ich nun die Assoziativität einer Abbildung allgemein beschreiben möchte (für die Addition), wie stell ich das allgemein dar?
Wenn ich jetzt anfange, wie schachuzipus bei der Kommutativität, dann hätte ich:
Eine Abbildung $+$ ist definiert durch $ [mm] +:\mathbb{K}\times\mathbb{K}\to\mathbb{K}, [/mm] \ [mm] (x,y)\mapsto [/mm] x+y $.
Diese Abbildung ist assoziativ, wenn gilt:
So, und nun weiß ich nicht weiter. Bei Assoziativität muss ich ja drei Punkte aus dem Definitionsbereich reinstecken. Aber dann hätte ich ja ein Tripel $(x,y,z)$ aus [mm] \mathbb{K}\times\mathbb{K}\times\mathbb{K}. [/mm] Aber das geht doch gar nicht, denn laut Additionsabbildung darf es ja nur ein Tupel aus [mm] \mathbb{K}\times\mathbb{K} [/mm] sein...
LG, Nadine
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Hallo nochmal,
> Hallo Rainer!
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> Vielen Dank, das habe ich verstanden
>
> Wenn ich nun die Assoziativität einer Abbildung allgemein
> beschreiben möchte (für die Addition), wie stell ich das
> allgemein dar?
>
> Wenn ich jetzt anfange, wie schachuzipus bei der
> Kommutativität, dann hätte ich:
>
> Eine Abbildung [mm]+[/mm] ist definiert durch
> [mm]+:\mathbb{K}\times\mathbb{K}\to\mathbb{K}, \ (x,y)\mapsto x+y [/mm].
>
> Diese Abbildung ist assoziativ, wenn gilt:
>
> So, und nun weiß ich nicht weiter. Bei Assoziativität
> muss ich ja drei Punkte aus dem Definitionsbereich
> reinstecken. Aber dann hätte ich ja ein Tripel [mm](x,y,z)[/mm] aus
> [mm]\mathbb{K}\times\mathbb{K}\times\mathbb{K}.[/mm] Aber das geht
> doch gar nicht, denn laut Additionsabbildung darf es ja nur
> ein Tupel aus [mm]\mathbb{K}\times\mathbb{K}[/mm] sein...
Das ist es auch, wenn du genau hinschaust ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]")
Bedenke, dass für [mm] $x,y,z\in\mathbb{K}$ [/mm] gilt, dass [mm] $(x+y)\in\mathbb{K}$ [/mm] ist, du stopfst also das Tupel [mm] $(\blue{(x+y)},z)\in\mathbb{K}\times\mathbb{K}$ [/mm] rein:
[mm] $\underbrace{\blue{(x+y)}}_{\in\mathbb{K}}\green{+}\underbrace{z}_{\in\mathbb{K}}=...=\underbrace{x}_{\in\mathbb{K}}\green{+}\underbrace{\red{(y+z)}}_{\text{wieder ein Element aus} \ \mathbb{K}}$ [/mm] ....
Die Verknüpfung [mm] $\green{+}$ [/mm] bleibt also eine von [mm] $\mathbb{K}\times\mathbb{K}\to\mathbb{K}$
[/mm]
>
> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 Do 17.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen.
Ich seh grad, dass ich euch noch gar nicht mitgeteilt habe, dass mir eure Antworten geholfen haben.
Also vielen Dank
LG Nadine
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