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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Mo 09.11.2009 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Ein Körper ist begrenzt durch die Koordinatenebenen und durch Strecken parallel zur xy-Ebene. Die Endpunkte dieser Strecken liegen auf Viertelkreisen mit Radius r. Berechne in Abhängigkeit von z den Inhalt der Querschnittsflächen, die entstehen, wenn der Körper durch Ebenen parallel zur xy-Ebene geschnitten wird, und bestimme daraus das Volumen des Körpers. |
Guten Abend,
so stelle ich mir das vor:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] $\integral_{0}^{r}{Scheibengleichung}$
[/mm]
nur was ist die allgemeine Scheibengleichung?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Mo 09.11.2009 | | Autor: | kushkush |
In Abhängigkeit von z heisst dass das Volumen von unten nach oben über die Querschnittsfläche bestimmt werden soll; die Querschnittsgleichung beträgt: [mm] $\frac{1}{2}Grundlinie \cdot [/mm] Hoehe = [mm] \frac{1}{2}\sqrt{r^{2}-x^{2}}\cdot \sqrt{r^{2}-x^{2}}$
[/mm]
und demnach [mm] $\frac{1}{2}\integral_{0}^{r}{r^{2}-x^{2}} [/mm] = V$
doch wonach muss integriert werden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Mo 09.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich betrachte mal die y-z- Ebene.
Der Kreis da hat die Gleichung [mm] $y^2+z^2=r^2 \Rightarrow y=\sqrt{r^2-z^2}$.
[/mm]
Und dieses y ist eben ein Schenkel des Dreiecks, mit dem du dann den Flächeninhalt für eine bestimmte Höhe z berechnen kannst.
[mm] A(z)=\bruch{1}{2}(\sqrt{r^2-x^2})^2=\bruch{1}{2}(r^2-z^2), [/mm] wie du auch schon fast richtig gesagt hast, nur, dass bei dir das z nirgends war!
Und diese Flächeninhalt musst du über die Höhe integrieren, also nach z. Die Grenzen sind schon richtig.
Bei Rotationskörpern macht man das übrigens auch so. Im Integral steht auch nur der Flächeninhalt eines Kreises für ein bestimmtes x und man integriert über die Höhe des Körpers.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Mo 09.11.2009 | | Autor: | kushkush |
Danke vielmals Teufel,
ich erhalte für das Volumen [mm] $\frac{1}{3}r^{3}$
[/mm]
hätte es dann auch [mm] $x=\sqrt{r^{2}-z^{2}}$ [/mm] heissen sollen, damit man dann auch auf [mm] $\frac{1}{2}(r^{2}-z^{2})$ [/mm] hätte kommen müssen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Mo 09.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem!
Ja, hätte es, denn du solltest ja laut Aufgabe den Flächeninhalt dieser Dreiecke (die parallel zur x-y-Ebene sind) in Abhängigkeit von z angeben.
Und dein Ergebnis stimmt dann auch!
Teufel
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