Körper + Inverse < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 So 16.11.2008 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Analog zum Körper [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] wird der Körper [mm] \IQ[\wurzel{3}] [/mm] definiert als die Menge
K := {a + [mm] b\wurzel{3} [/mm] | a, b [mm] \in \IQ} [/mm] mit der üblichen Addition und Multiplikation.
Geben Sie eine Formel an, mit der man aus a + [mm] b\wurzel{3} \in [/mm] K mit (a, b) [mm] \not= [/mm] (0, 0)
das multiplikative Inverse c + [mm] d\wurzel{3} [/mm] mit rationalen Zahlen c und d errechnet.
Beweisen Sie die Gültigkeit dieser Formel. |
Der Körper [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] steht so angegeben:
Es sei K := [mm] \IQ [/mm] × [mm] \IQ [/mm] mit den beiden Verknüpfungen
[mm] \oplus [/mm] :K × K [mm] \to [/mm] K , ((a, b), (a', b')) [mm] \mapsto [/mm] (a + a', b + b') ,
[mm] \odot [/mm] :K × K [mm] \to [/mm] K , ((a, b), (a', b')) [mm] \mapsto [/mm] (a · a' + 2b · b', a · b' + a' · b) .
Dann ist [mm] (K,\oplus,\odot) [/mm] ein Körper. Man bezeichnet diesen Körper auch mit
[mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] (lies: [mm] \IQ [/mm] adjungiert Wurzel 2), da man das Element (a, b) [mm] \in [/mm] K mit der reellen Zahl a + [mm] b\wurzel{2} [/mm] identifizieren kann.
Die multiplikative Inverse ist doch einfach nur der Kehrwert des Ausdruckes oder? Also dies:
[mm] \bruch{1}{a+b\wurzel{3}} [/mm] oder nicht?
Nun müsste ich nur noch den Definitionsbereich von a und b etwas einschränken (wegen Division durch 0) und dann die Gültigkeit beweisen. Auch wenn ich noch nicht weiss wie ich zweiteres bewerkstelligen soll, so kommt mir mein Ansatz doch etwas zu trivial / einfach vor.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 So 16.11.2008 | | Autor: | SEcki |
> Die multiplikative Inverse ist doch einfach nur der
> Kehrwert des Ausdruckes oder? Also dies:
> [mm]\bruch{1}{a+b\wurzel{3}}[/mm] oder nicht?
Nein, du sollst c und d bestimmen, so dass gilt [m]c + [mm] d*\wurzel{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a+b\wurzel{3}}[/mm]. [/mm] Die linke Seite ist im Körper drin, die rechte ist nur das symbolische Inverse, welches du hier konkret bestimmen sollst!
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 So 16.11.2008 | | Autor: | Pille456 |
Also muss ich nur den Ausruck c + $ [mm] d\cdot{}\wurzel{3} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{a+b\wurzel{3}} [/mm] $ lösen oder wie?
Ich sehe da gerade keine Möglichkeit irgendwie konkret vorzugehen und den Term in irgendeiner weise noch zu vereinfachen.
Die Aufgabe besagt, ich soll eine Formel angeben, also doch eine Form wie
f(a,b) = c + $ [mm] d\cdot{}\wurzel{3} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{a+b\wurzel{3}} [/mm] $ oder habe ich da gerade total den Denkfehler?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 So 16.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ihr habt das ja offensichtlich fuer den Koerper mit [mm] \wurzel [/mm] 2 gemacht! warum siehst du nicht nach, wie ihr da das Inverse gefunden habt?
doch noch ein Tip: dein formales Inverses so erweitern (bin. formel) dass im Nenner keine Wurzel mehr steht!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 So 16.11.2008 | | Autor: | Pille456 |
Wir haben das eben nicht gemacht, sonst hätte ich da schon längst geschaut!
Ich habe mal ein wenig rumgerechnet und erweitert etc. aber alles ohne Erfolg. Ein Binom hilft mir aber auch nicht wirklich weiter:
[mm] \bruch{1}{a+b\wurzel{3}} [/mm] = [mm] \bruch{a+b\wurzel{3}}{(a+b\wurzel{3}) * (a+b\wurzel{3})} [/mm] = [mm] \bruch{a+b\wurzel{3}}{(a+b\wurzel{3})²} [/mm] = [mm] \bruch{a+b\wurzel{3}}{a² + 2ab\wurzel{3} + 3b²}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Erweitere mal [mm] \bruch{1}{a+b\wurzel{5}} [/mm] mit [mm] $\bruch{a-b\sqrt{5}}{a-b\sqrt{5}}$. [/mm] was erhälst du dann? Und dann musst du noch gucken ob der nenner null werden kann.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 So 16.11.2008 | | Autor: | Pille456 |
Ahh, okay 3. Binomische Formel
Kommt dann das raus: [mm] \bruch{a-b\sqrt{5}}{a²-5*b²}
[/mm]
=> 0 = a²-5b² => a = [mm] \sqrt{5}*b \vee [/mm] a = - [mm] \sqrt{5}*b
[/mm]
Und wie kann ich diese Gültigkeit beweisen?
|
|
|
| |
|
Im nenner bekommst du denn ja [mm] $a^2-5b^2$. [/mm] Angenommen es gäbe [mm] $a\in \IQ$ [/mm] und [mm] $b\in \IQ$, $(a,b)\not=(0,0)$ [/mm] so dass [mm] a^2-5b^2=0. [/mm] Dann bau das mal nach der fünf um. Also $5=.....$. Und jetzt habt ihr bestimmt schon mal bewiesen das [mm] \sqrt{p}\not\in \IQ [/mm] für $p$ eine Primzahl . So führst du die Annahme zum Widerspruch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 So 16.11.2008 | | Autor: | Pille456 |
Also das mit der Primzahl haben wir, soweit ich das gerade im Blick habe noch nicht bewiesen.
Ich soll doch momentan beweise, dass dies hier gilt:
[mm] \bruch{a-b\sqrt{5}}{a²-5\cdot{}b²} [/mm] = c + [mm] d\cdot{}\wurzel{3} [/mm] oder?
Wenn ich nun den Definitionsbereich der linken Seite der Gleichung ausrechne, dann komme ich auf:
5 = [mm] \bruch{a²}{b²} [/mm] => Da a,b [mm] \not= [/mm] 0 sind immer wahr ist. Aber was das hilft weiss ich gerade auch nicht. Welche Annahem willst du hier zum Widerspruch führen? Die Gleichung? Und wenn ja wie?
|
|
|
| |
|
Wenn du mit der dritten Binomischen Formel erweiterst, dann kommt ja in den Nenner dein [mm] $a^2-5b^2$. [/mm] Nun musst du begründen, dass der Nenner niemals Null werden kann, weil ja ansonsten nicht jedes Element aus [mm] \IQ[\sqrt{5}]\backslash \{0\} [/mm] ein multiplikatives Inverses hätte.
Du kommst wie du geschrieben hast auf [mm] $5=\bruch{a^2}{b^2}$. [/mm] Wenn du jetzt auf beiden Seiten die Wurzel ziehst, dann steht da ja [mm] $\sqrt{5}=\bruch{a}{b}$. [/mm] Das würde dann ja heißen, dass [mm] $\sqrt{5} \in \IQ$. [/mm] Das ist ein Widerspruch da [mm] $\sqrt{5}\not\in \IQ$. [/mm] Somit hast du gezeigt, dass der Nenner für [mm] $(a,b)\not=(0,0)$ [/mm] nicht null werden kann. Nun must du dein erhaltenes Element noch aufspalten und auf die Angegeben Form bringen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 So 16.11.2008 | | Autor: | Pille456 |
Soweit konnte ich dir nun ganz gut folgen, danke schonmal!
Nur leider muss ich nochmal nachhaken - in welche Form soll ich es denn laut Aufgabenstellung bringen?
Also mir fällt da höchstens was ein wie c = ...
und d = ...
Entweder bin ich zu blöde die Aufgabe zu verstehen oder die ist etwas doof gestellt.
|
|
|
| |
|
Die Form sollte ja so aussehen: [mm] $c+\sqrt{5}d$ [/mm] mit $c,d [mm] \in \IQ$
[/mm]
Du hast jetzt bekommen das [mm] \bruch{1}{a+\sqrt{5}}=\bruch{a-\sqrt{5}b}{a^2-5b^2}=\bruch{a}{a^2-5b^2}+\sqrt{5}\bruch{-b}{a^2-5b^2}. [/mm] Was sind nun dein c und d und liegen beide auch in [mm] \IQ?
[/mm]
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 So 16.11.2008 | | Autor: | Pille456 |
Lass mich raten: c = [mm] \bruch{a}{a^2-5b^2} [/mm] und d = [mm] \sqrt{5}\bruch{-b}{a^2-5b^2}
[/mm]
c und d liegen nicht in [mm] \IQ, [/mm] da der Nenner niemals 0 werden kann.
|
|
|
| |
|
Jo dein $c$ stimmt. d ist nicht ganz richtig, lass man die [mm] \wurzel{5} [/mm] weg. Warum sollen c und d nicht in [mm] \IQ [/mm] liegen. Das der Nenner nie Null wird, sagt nur, das das Inverse für alle $a,b$ definiert ist. Wenn du mal guckst, das $a$ und $b$ ja aus [mm] \IQ [/mm] sind, sind dann auch [mm] $c=\bruch{a}{a^2-5b^2}$ [/mm] und [mm] d=\bruch{-b}{a^2-5b^2} [/mm] in [mm] \IQ?
[/mm]
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 So 16.11.2008 | | Autor: | Pille456 |
ja leicht verchrieben... natürlich sind die in [mm] \IQ [/mm] weil a,b [mm] \in \IQ [/mm] gilt und somit müssen die in [mm] \IQ [/mm] liegen, weil es ja Brüche sind...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 So 16.11.2008 | | Autor: | blascowitz |
[mm] \IQ [/mm] ist ja ein Körper, von daher auch abgeschlossen unter multiplikation und addition. von daher sind$c$ und $d$ in [mm] \IQ
[/mm]
|
|
|
|
