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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Do 10.02.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei K ein Körper. Für $x [mm] \in [/mm] K [mm] \backslash \{1\}$ [/mm] zeige:
[mm] $\sum_{k=0}^{n}x^{k}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ [/mm] |
Hallo,
1. MUss ich überprüfen, dass das auch wirklich ein Körper ist?
2. Zeigen mit Induktion:
Induktionsanfang mit n=1 ist erfüllt: [mm] $(1+x)(1-x)=(1-x^{2})$
[/mm]
$n [mm] \rightarrow [/mm] n+1$:
[mm] $\sum_{k=0}^{n}x^{k}+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+2}}{1-x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{1-x^{n+1}}{1-x}+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+2}}{1-x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{1-x^{n+1}+x^{n+1}-x^{n+2}}{1-x}=\frac{1-x^{n+2}}{1-x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 1-x^{n+2}=1-x^{n+2}$ [/mm]
Ists so richtig?
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Do 10.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei K ein Körper. Für [mm]x \in K \backslash \{1\}[/mm] zeige:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n}x^{k}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}[/mm]
> Hallo,
>
>
> 1. MUss ich überprüfen, dass das auch wirklich ein
> Körper ist?
Dass K ein Körper ist , ist doch vorausgesetzt !! Auch auf den Weihnachtsinseln darfst Du davon ausgehen.
>
> 2. Zeigen mit Induktion:
>
> Induktionsanfang mit n=1 ist erfüllt:
> [mm](1+x)(1-x)=(1-x^{2})[/mm]
mache den Induktionsanfang bei n=0
>
> [mm]n \rightarrow n+1[/mm]:
Wo ist die Induktionsvoraussetzung ??
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n}x^{k}+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+2}}{1-x}[/mm]
Was machst Du da ? Dass oben "=" gilt, sollst Du doch zeigen !!
> [mm]\Rightarrow \frac{1-x^{n+1}}{1-x}+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+2}}{1-x}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{1-x^{n+1}+x^{n+1}-x^{n+2}}{1-x}=\frac{1-x^{n+2}}{1-x}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 1-x^{n+2}=1-x^{n+2}[/mm]
>
>
> Ists so richtig?
Na ja, Du folgerst aus dem , was Du zeigen sollst etwas richtiges. Streng genommen ist das kein Beweis
Zeige also: [mm]\sum_{k=0}^{n}x^{k}+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+2}}{1-x}[/mm]
Ich gehe mal so vor , wie Du:
Behauptung: 1=0
Beweis:
1=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0=1
Addiert man die Gleichungen 1=0 und 0=1, so erhält man: 1=1
Dennoch ist 1=0 falsch. Das solltest Du verstehen, obwohl Du Klasse 1 Grundschule besuchst
FRED
>
>
> Gruss
>
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Do 10.02.2011 | | Autor: | kushkush |
> mache den Induktionsanfang bei n=0
Sollte man den Induktionsanfang immer beim tiefstmöglichen machen oder schreibst du das weil es am einfachsten zum ausrechnen ist?
> Wo ist die Induktionsvoraussetzung ??
Die steht doch in der Aufgabenstellung...
IV: [mm] $\sum_{k=0}^{n}x^{k}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$
[/mm]
> Was machst Du da ?
Ich habe die Induktionsvoraussetzung eingesetzt...?
Hätte ich die IV hingeschrieben, wäre es dann richtig??
Danke und Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> > mache den Induktionsanfang bei n=0
>
> Sollte man den Induktionsanfang immer beim tiefstmöglichen
> machen oder schreibst du das weil es am einfachsten zum
> ausrechnen ist?
Hier geht's ja in der Summe bei 0 los ..
Im Prinzip ist es egal, wo du anfängst, allerdings kannst du, wenn du bei einem [mm]n_0[/mm] anfängst, dann auch nur eingeschränkt sagen, dass die Aussage für alle [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]n\ge n_0[/mm] gilt.
Fange also möglichst "tief" an 
>
>
>
> > Wo ist die Induktionsvoraussetzung ??
>
> Die steht doch in der Aufgabenstellung...
>
> IV: [mm]\sum_{k=0}^{n}x^{k}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}[/mm]
>
> > Was machst Du da ?
>
> Ich habe die Induktionsvoraussetzung eingesetzt...?
>
>
>
> Hätte ich die IV hingeschrieben, wäre es dann richtig??
Nein, du darfst aus der Behauptung nix folgern.
Du darfst allenfalls sämlich Äquivalenzumformungen machen.
Wenn dann am Ende etwas Bekanntes herauskommt, ist das i.O.
Viel sicherer ist folgendes (siehe weiter unten):
Wie Fred schon schrieb, ist im Induktionsschritt zu zeigen, dass (unter der IV) die Beh. auch für n+1 git, es ist also die Gleichheit
[mm]\sum_{k=0}^{n+1}x^{k}=\frac{1-x^{n+2}}{1-x} [/mm]
zu zeigen.
Wie zeigt man eine Gleichheit?
Man nimmt die eine Seite (hier die linke) her und formt sie solange um, bis die rechte rauskommt.
[mm]\sum_{k=0}^{n+1}x^{k}=\left(\sum_{k=0}^{n}x^{k}\right)+x^{n+1}=\ldots[/mm]
Nun die IV anwenden und weiter bis zu [mm]....=\frac{1-x^{n+2}}{1-x}[/mm] umformen
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>
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> Danke und Gruss
>
> kushkush
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 Do 10.02.2011 | | Autor: | kushkush |
OK,
Danke schachuzipus.
Gruss
kushkush
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