Körper, Matrix, Basistupel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien K ein Körper, [mm] n\in \IN, \delta [/mm] das Standardbasistupel von [mm] K^n [/mm] und [mm] \partial [/mm] das Basistupel [mm] ((1_{K},...,1_{K}), (0_{K},1_{K},...,1_{K}),...,(0_{K}, ...,0_{K},1_{K})).
[/mm]
(a) Man bestimme [mm] M^{\delta}_{\partial}(id_{K^{n}}) [/mm] und die dazu inverse Matrix.
(b) Man zeige: Ist C = [mm] (c_{ij})_{i,j \in n} \in K^{n x n} [/mm] und [mm] M^{\delta}_{\partial}(f_{C}) [/mm] = [mm] (a_{ij})_{i,j \in n}, a_{n+1,k} [/mm] = [mm] 0_K [/mm] für alle k [mm] \in [/mm] n, so gilt:
[mm] \forall [/mm] i,j [mm] \in [/mm] n [mm] c_{ij} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{j}(a_{ik} [/mm] - [mm] a_{i+1,k})
[/mm]
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Hallo,
kann mir jemand helfen? Das einzige was mir zu diese Aufgabe einfällt ist, dass [mm] f_C [/mm] der von C induzierte Endomorphismus von [mm] K^n [/mm] ist. Leider hilft mir das nicht weiter.
Gruß,
anna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Do 13.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo anna!
> Seien K ein Körper, [mm]n\in \IN, \delta[/mm] das
> Standardbasistupel von [mm]K^n[/mm] und [mm]\partial[/mm] das Basistupel
> [mm]((1_{K},...,1_{K}), (0_{K},1_{K},...,1_{K}),...,(0_{K}, ...,0_{K},1_{K})).[/mm]
>
>
> (a) Man bestimme [mm]M^{\delta}_{\partial}(id_{K^{n}})[/mm] und die
> dazu inverse Matrix.
Also die Matrix [mm]M^{\delta}_{\partial}(id_{K^{n}})[/mm] zu bestimmen, dafuer habt ihr doch sicher eine Formel/ein Standardvorgehen. (Basisvektoren einsetzen und das Ergebnis durch die anderen Basisvektoren ausdruecken, und die Koeffizienten richtig in eine Matrix schreiben.) Mach das doch mal.
> (b) Man zeige: Ist C = [mm](c_{ij})_{i,j \in n} \in K^{n x n}[/mm]
> und [mm]M^{\delta}_{\partial}(f_{C})[/mm] = [mm](a_{ij})_{i,j \in n}, a_{n+1,k}[/mm]
> = [mm]0_K[/mm] für alle k [mm]\in[/mm] n, so gilt:
>
> [mm]\forall[/mm] i,j [mm]\in[/mm] n [mm]c_{ij}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{j}(a_{ik}[/mm] -
> [mm]a_{i+1,k})[/mm]
Du kannst ja [mm] $f_C [/mm] = [mm] id_{K^n} \circ f_C$ [/mm] schreiben, und damit ist [mm]M^{\delta}_{\partial}(id_{K^n} \circ f_{C}) = M^{\delta}_{\partial}(id_{K^n}) \cdot M^{\delta}_{\delta}(f_C)[/mm].
(Eventuell musst du auch alles umdrehen, je nachdem wie eure Notation halt ist... Das ist leider von Prof zu Prof verschieden...)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Do 13.04.2006 | | Autor: | franzi1929 |
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich werde den Anfang probieren und mich morgen sonst noch mal melden.
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Hallo.
Ich wollte nur noch mal kurz fragen, ob ich das ganze jetzt richtig sehe. Es gilt doch laut Voraussetzung:
[mm] \delta [/mm] = ((1,0,...,0), (0,1,0,...,0), (0,0,1,0,...,0), ..., (0,...,0,1))
[mm] \partial [/mm] = [mm] ((1_K,...,1_K), (0_K, 1_K, [/mm] ..., [mm] 1_K), [/mm] ..., [mm] (0_K,...,0_K,1_K))
[/mm]
So. Aber was ist denn nun [mm] M_{\partial}^{\delta}(id_{K_{n}})? [/mm] Ist das einfach [mm] \delta [/mm] * [mm] \partial?
[/mm]
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Aber ich betrachte doch nur [mm] K^n, [/mm] dann kann das doch keine Matrix sein, da Matrizen doch die Form [mm] K^{n x n} [/mm] haben. Oder sehe ich das jetzt komplett falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Fr 14.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
die Matrix stellt doch die Identität dar, und diese Matrix sollst du doch finden.
Die Identität ist eine (besondere) Abbildung von [mm] K^n [/mm] nach [mm] K^n [/mm] und wird deshalb durch eine nxn Matrix dargestellt...
viele Grüße
DaMenge
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Kann mir noch mal jemand einen Tipp für den Aufgabenteil (b) geben? (a) habe sich soweit verstanden. Der Beweis fehlt noch. Bin deshalb für jeden Tipp dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 18.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
,
Transformationsmatrix
