Körper, Polynom, ggT < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Di 05.06.2007 | | Autor: | LenaFre |
| Aufgabe | Zeigen Sie für einen Körper K und Polynome [mm] f_{1}, f_{2}, [/mm] g [mm] \in [/mm] K[t], [mm] g\not=0:
[/mm]
[mm] f_{1}\equiv f_{2}(mod [/mm] g K[t]) [mm] \Rightarrow ggT(f_{1},g) [/mm] = [mm] ggT(f_{2}, [/mm] g) |
Hallo zusammen!
Leider finde ich gar keinen Ansatz zu der Aufgabe dort oben.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen und schonmal vielen Dank dafür!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Mi 06.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Lena!
> Zeigen Sie für einen Körper K und Polynome [mm]f_{1}, f_{2},[/mm] g
> [mm]\in[/mm] K[t], [mm]g\not=0:[/mm]
> [mm]f_{1}\equiv f_{2}(mod[/mm] g K[t]) [mm]\Rightarrow ggT(f_{1},g)[/mm] = [mm]ggT(f_{2},[/mm] g)
> Hallo zusammen!
>
> Leider finde ich gar keinen Ansatz zu der Aufgabe dort oben.
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen und schonmal vielen Dank dafür!
Das haengt ein wenig davon ab wie ihr den ggT definiert habt und was ihr schon darueber wisst. Im Allgemeinen wuerd ich es so beweisen: zeige, dass ein Polynom [mm]h \in K[t][/mm] genau dann ein Teiler von [mm] $f_1$ [/mm] und $g$ ist, wenn es ein Teiler von [mm] $f_2$ [/mm] und $g$ ist.
(Und fuer diese Aussage benutzt du dann, dass $g$ ein Teiler von [mm] $f_2 [/mm] - [mm] f_1$ [/mm] ist.)
Da der ggT normalerweise ueber Teiler definiert ist, folgt daraus, dass [mm] $ggT(f_1, [/mm] g) = [mm] ggT(f_2, [/mm] g)$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Mi 06.06.2007 | | Autor: | LenaFre |
Danke für deine Antwort. Wir haben den ggT folgendermaßen definiert:
d [mm] \in [/mm] R heißt ggT von [mm] a_{1},a_{2},.....,a_{n}, [/mm] falls:
1) d ist gemeinssamer Teiler von [mm] a_{1},a_{2},.....,a_{n} [/mm] und
2) jeder gemeinsamer Teiler c von [mm] a_{1},a_{2},.....,a_{n} [/mm] erfült: c teilt d
Und wir wissen auch, dass a [mm] \equiv [/mm] b mod(m) [mm] \gdw [/mm] m teilt (a-b).
Ich verstehe nicht was du mit $ meinst? Und wie zeige ich, dass h genau dann ein Teiler von [mm] f_{1} [/mm] und g ist, wenn es ein Teiler von [mm] f_{2} [/mm] und g ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Mi 06.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Danke für deine Antwort. Wir haben den ggT folgendermaßen
> definiert:
>
> d [mm]\in[/mm] R heißt ggT von [mm]a_{1},a_{2},.....,a_{n},[/mm] falls:
> 1) d ist gemeinssamer Teiler von [mm]a_{1},a_{2},.....,a_{n}[/mm]
> und
> 2) jeder gemeinsamer Teiler c von [mm]a_{1},a_{2},.....,a_{n}[/mm]
> erfült: c teilt d
Das ist die normale Definition. Gut.
> Und wir wissen auch, dass a [mm]\equiv[/mm] b mod(m) [mm]\gdw[/mm] m teilt
> (a-b).
Genau.
> Ich verstehe nicht was du mit $ meinst? Und wie zeige ich,
Da hat mir der Formeleditor einen Streich gespielt, das war ein Formelanfang/Formelende. Schau es dir nochmal an, ich habs jetzt verbessert.
> dass h genau dann ein Teiler von [mm]f_{1}[/mm] und g ist, wenn
> es ein Teiler von [mm]f_{2}[/mm] und g ist?
Nimm doch mal einen Teiler $h$ von [mm] $f_1$ [/mm] und $g$. Dann gilt [mm] $f_1 [/mm] = h [mm] \hat{f}_1$ [/mm] und $g = h [mm] \hat{g}$ [/mm] mit [mm]\hat{f}_1, \hat{g} \in K[t][/mm]. Jetzt musst du zeigen, dass $h$ auch ein Teiler von [mm] $f_2$ [/mm] ist.
Jetzt weisst du aber, dass $g$ ein Teiler von [mm] $f_1 [/mm] - [mm] f_2$ [/mm] ist, also dass [mm] $f_1 [/mm] - [mm] f_2 [/mm] = g [mm] \tilde{g}$ [/mm] ist mit [mm]\tilde{g} \in K[t][/mm]. Damit ist [mm] $f_2 [/mm] = [mm] f_1 [/mm] - g [mm] \tilde{g} [/mm] = ...$ und jetzt musst du mal ein wenig einsetzen...
LG Felix
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