Körper,Schiefkörper < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Kenshij |
Aufgabe:
Man Zeige K = [mm] \{ a+b*\wurzel{2} : a,b \varepsilon \IQ \} [/mm] ist ein Körper.
Ich weiß das ein Körper ein kommutativer Schiefkörper ist der einen Intigritätsbereich hat und Nullteilerfrei ist.
Der Schiefkörper muß ein Eiselement und noch mehr besitzen.
Einselement bedeutet :
a [mm] \varepsilon [/mm] K
a*1=1*a=a
Kann ich das nun so zeigen ???, dass es geht: Da a aus K
a,b [mm] \varepsilon \IQ
[/mm]
[mm] (a+b*\wurzel{2})*1=1*(a+b*\wurzel{2}))=a+b*\wurzel{2})
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Meinen Gruß!
Die Menge $U := [mm] \IQ [/mm] [ [mm] \sqrt{2} [/mm] ]$, die Du betrachtest ist ja eine Teilmenge der reellen Zahlen - und die bilden bekanntlich einen Körper.
Das bedeutet, es reicht zu zeigen, dass es sich bei Deiner Menge um einen Unterkörper handlet - Du mußt also nur zeigen, dass die Elemente 1 und 0, die aus [mm] $\IR$ [/mm] stammen, in der Menge liegen - was offensichtlich der Fall ist:
$ 0 = 0 + 0 [mm] \cdot \sqrt{2} \in [/mm] U$
$1 = 1 + 0 [mm] \cdot \sqrt{2} \in [/mm] U$
Jetzt mußt Du nur noch zeigen, dass für $a,b [mm] \in [/mm] U$ auch gilt:
$a + b [mm] \in [/mm] U$
$a [mm] \cdot [/mm] b [mm] \in [/mm] U$
$-a [mm] \in [/mm] U$
Und für $c [mm] \in [/mm] U$ mit $c [mm] \not= [/mm] 0$ ist klar, dass es das Inverse [mm] $\frac{1}{c}$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] gibt, denn das ist ja ein Körper - zu zeigen ist dann "nur":
[mm] $\frac{1}{c} \in [/mm] U$
Dieser letzte Teil ist der schwierige Teil der Aufgabe, der Rest ist mehr oder weniger einsetzen, nachrechnen, fertig.
Kommutativität ist übrigens auch klar - schließlich ist die Multiplikation in [mm] $\IR$ [/mm] kommutativ. 
Viel Erfolg!
Lars
|
|
|
|
