Körper, Untervektorraum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Do 12.12.2013 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Sei $K$ ein Körper und $V$ ein K-Vektorraum. Seit weiter [mm] $U\subseteq [/mm] V$ eine nichtleere Menge, so dass für alle [mm] $u_1$, $u_2\in [/mm] U$ und [mm] $k\in [/mm] K$ gilt: [mm] $u_1+u_2k\in [/mm] U$. Zeigen Sie, dass $U$ ein Untervektorraum von $V$ ist. |
Hi,
um obige Aufgabe zu lösen, muss ich ja drei Dinge zeigen:
1. U ist nicht leer.
2. U ist bezüglich der Addition abgeschlossen, also für [mm] $u_1, u_2\in [/mm] U$ ist [mm] $u_1+u_2\in [/mm] U$
3. U ist bezüglich der Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen.
Daher für [mm] $a\in [/mm] K$ und [mm] $u\in [/mm] U$ gilt [mm] $a\cdot u\in [/mm] U$
_
Die erste Eigenschaft ist klar. Das gilt nach Voraussetzung.
Nun muss ich die beiden anderen Eigenschaften zeigen und darf dazu nur verwenden, dass
[mm] $u_1+u_2k\in [/mm] U$ gilt. Sei [mm] k=0_K [/mm] das neutrale Element der Addition, dann gilt
[mm] $u_1+u_2\cdot 0_K=u_1$ [/mm] also [mm] $u_1\in [/mm] U$
Sei [mm] $k=1_K$ [/mm] das neutrale Element der Multiplikation, dann gilt:
[mm] $u_1+u_2\cdot 1_K=u_1+u_2$
[/mm]
Da jeder Untervektorraum den Nullvektor enthält und ebenso die additiven Inversen, ist die Abgeschlossenheit der Addition gezeigt.
Würde das so reichen?
3. Die Abgeschlossenheit der Skalarenmultiplikation:
[mm] $(u_1+u_2k)k=u_1k+u_2k^2$
[/mm]
Hier weiß ich leider nicht so recht wie ich vorzugehen habe.
Über Tipps und eine kurze Kontrolle würde ich mich freuen.
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Do 12.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]K[/mm] ein Körper und [mm]V[/mm] ein K-Vektorraum. Seit weiter
> [mm]U\subseteq V[/mm] eine nichtleere Menge, so dass für alle [mm]u_1[/mm],
> [mm]u_2\in U[/mm] und [mm]k\in K[/mm] gilt: [mm]u_1+u_2k\in U[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm]U[/mm]
> ein Untervektorraum von [mm]V[/mm] ist.
> Hi,
>
> um obige Aufgabe zu lösen, muss ich ja drei Dinge zeigen:
>
> 1. U ist nicht leer.
> 2. U ist bezüglich der Addition abgeschlossen, also für
> [mm]u_1, u_2\in U[/mm] ist [mm]u_1+u_2\in U[/mm]
>
> 3. U ist bezüglich der Multiplikation mit Skalaren
> abgeschlossen.
>
> Daher für [mm]a\in K[/mm] und [mm]u\in U[/mm] gilt [mm]a\cdot u\in U[/mm]
> _
>
> Die erste Eigenschaft ist klar. Das gilt nach
> Voraussetzung.
>
> Nun muss ich die beiden anderen Eigenschaften zeigen und
> darf dazu nur verwenden, dass
>
> [mm]u_1+u_2k\in U[/mm] gilt. Sei [mm]k=0_K[/mm] das neutrale Element der
> Addition, dann gilt
>
> [mm]u_1+u_2\cdot 0_K=u_1[/mm] also [mm]u_1\in U[/mm]
Hä ? Du hast doch [mm] u_1,u_2 \in [/mm] U und willst zeigen: [mm] u_1+u_2 \in [/mm] U.
>
> Sei [mm]k=1_K[/mm] das neutrale Element der Multiplikation, dann
> gilt:
>
> [mm]u_1+u_2\cdot 1_K=u_1+u_2[/mm]
Damit hast Du: [mm] u_1+u_2 \in [/mm] U.
>
> Da jeder Untervektorraum den Nullvektor enthält und ebenso
> die additiven Inversen, ist die Abgeschlossenheit der
> Addition gezeigt.
Dass U ein Untervektorraum ist, ist noch nicht vollständig gezeigt !
>
> Würde das so reichen?
Bis jetzt hast Du: [mm] u_1,u_2 \in [/mm] U [mm] \Rightarrow u_1+u_2 \in [/mm] U.
>
> 3. Die Abgeschlossenheit der Skalarenmultiplikation:
>
> [mm](u_1+u_2k)k=u_1k+u_2k^2[/mm]
Das bringt nix !
>
> Hier weiß ich leider nicht so recht wie ich vorzugehen
> habe.
>
Wir zeigen zunächst, dass der Nullvektor zu gehört:
U ist nicht leer, also ex. ein v [mm] \in [/mm] V mit v [mm] \in [/mm] U.
Dann ist $0=v+(-1)v [mm] \in [/mm] U.$
Jetzt sei u [mm] \in [/mm] U und k [mm] \in [/mm] K. Dann ist
$ k*u=0+k*u [mm] \in [/mm] U$
FRED
> Über Tipps und eine kurze Kontrolle würde ich mich
> freuen.
>
> mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Do 12.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Zur Abgeschlossen der Addition:
Ich habe also
[mm] $u_1+u_2\in [/mm] U$, damit bin ich aber noch nicht fertig?
Daraus folgt doch nun, dass wenn ich zwei Elemente aus den jeweiligen Unterräumen addiere ich wieder im Unterraum lande, das ganze also abgeschlossen ist, oder vertue ich mich?
Was wäre dann hier noch zu zeigen?
Das auch das neutrale Element enthalten ist würde ja folgen wenn ich z.B. [mm] $u_2=-u_1$ [/mm] wähle.
Zur Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarenmultiplikation:
Okay, und damit wäre direkt die Abgeschlossenheit gezeigt, dass würde mehr oder weniger aus der Abgeschlossenheit bezüglich der Addition folgen, oder sehe ich das falsch?
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Hallo,
Fred hat Dir doch alles vorgemacht:
> Zur Abgeschlossen der Addition:
Seien [mm] u_1, u_2\in [/mm] U.
[mm] u_1+u_2=u_1+u_2*1_K, [/mm] denn V ist ein VR,
und [mm] u_1+u_2*1_K\in [/mm] U nach Voraussetzung.
Also ist [mm] u_1+u_2\in [/mm] U.
>
> Ich habe also
>
[mm] u_1, u_2\in [/mm] U ==>
> [mm]u_1+u_2\in U[/mm],
gezeigt.
Damit ist die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition gezeigt.
> Das auch das neutrale Element enthalten ist würde ja
> folgen wenn ich z.B. [mm]u_2=-u_1[/mm] wähle.
Nein.
Du weißt doch von vornherein gar nicht, ob mit [mm] u_1 [/mm] auch [mm] -u_1\in [/mm] U ist.
>
> Zur Abgeschlossenheit bezüglich der
> Skalarenmultiplikation:
>
> Okay, und damit
Womit jetzt?
Mit dem, was Fred gezeigt hat: ja.
Er hat es so gemacht:
1. Er zeigt zunächst, daß der Nullvektor in U enthalten ist, indem er die Voraussetzungen (und nicht irgendelche Wunschvorstellungen) verwendet.
Schau Dir genau an, wie er das tut.
2. Und danach zeigt er unter Verendung der Tatsache, daß der Nullvektor in U ist und der Voraussetzung, daß ein jedes Vielfache von Elementen aus U auch in U ist.
Das ist die Abgeschlossenheit bzgl der Multiplikation mit Skalaren.
> wäre direkt die Abgeschlossenheit gezeigt,
> dass würde mehr oder weniger aus der Abgeschlossenheit
> bezüglich der Addition folgen, oder sehe ich das falsch?
Du siehst es völlig falsch.
Es folgt aus der Voraussetzung.
Sie sagt uns: wenn [mm] u\in [/mm] U, dann gilt, da [mm] 0\in [/mm] U:
[mm] 0+u*k\in [/mm] U für alle [mm] k\in [/mm] K.
Da V ein VR ist, ist 0+u*k=u*k, und deshalb wissen wir nun, daß [mm] u*k\in [/mm] U.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Do 12.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Okay, damit ist alles klar.
Vielen Dank für die Hilfe euch zwei.
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