Körper mit 3 Elementen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:20 Di 26.10.2004 | | Autor: | sengwarden |
Hi,
folgende Frage.
a) Geben Sie, durch Angabe der Verknüpfungstafeln, einen Körper mit genau 3 Elementen ?
b) Gibt es einen angeordneten Körper mit genau 3 Elementen ?
Bin für jede Lösung dankbar
Gruß Kathrin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Di 26.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Kathrin,
> a) Geben Sie, durch Angabe der Verknüpfungstafeln, einen
> Körper mit genau 3 Elementen ?
>
> b) Gibt es einen angeordneten Körper mit genau 3 Elementen
> ?
>
> Bin für jede Lösung dankbar
Wo liegt denn hier genau das Problem?
Weißt du, was ein Körper ist?
Weißt du, was eine Verknüpfungstafel ist?
Ich würde so beginnen:
Der Körper hat die Elemente {a,b,c}, die Verküpfungen lauten [mm] $\oplus$ [/mm] und [mm] $\otimes$.
[/mm]
Dann erstellst du eine Verknüpfungstabelle für die Gruppe [mm] ({a,b,c},$\oplus$).
[/mm]
Dann eine Verknüpfungstabelle für die Gruppe [mm] ({b,c},$\otimes$) [/mm] (hierbei habe ich a als neutrales Element der [mm] $\oplus$-Verknüpfung [/mm] gewählt).
Probier' es mal, es ist nicht schwierig, aber am Anfang (des Studiums) vielleicht etwas abstrakt...
Bitte frag' nach, wenn du nicht weiter kommst.
Viele Grüße,
Marc
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Hi,
habe irgendwie Probleme diese Verknüpfungstabellen aufzustellen, fehlt mir irgendwie der Durchblick.
Anschließend muss ich dann mit den Axiomen die Gültigkeit beweisen, kannst du mir da bitte mal ein Beispiel geben?
Vielen, vielen Dank
Kathrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Kathrin,
> habe irgendwie Probleme diese Verknüpfungstabellen
> aufzustellen, fehlt mir irgendwie der Durchblick.
>
> Anschließend muss ich dann mit den Axiomen die Gültigkeit
> beweisen, kannst du mir da bitte mal ein Beispiel geben?
Na gut, ich mache es mal für die Gruppe [mm] $(\{b,c\},\otimes)$ [/mm] vor.
Diese Gruppe hat zwei Elemente, nämlich b und c.
Eines davon muß ich als neutrales Element wählen, ich nehme b.
Nun definiere ich die Verknüpfung [mm] $\otimes$, [/mm] das heißt, die Ergebnisse folgender vier Verknüpfungmöglichkeiten:
[mm] $b\otimes [/mm] b:=?$
[mm] $b\otimes [/mm] c:=?$
[mm] $c\otimes [/mm] b:=?$
[mm] $c\otimes [/mm] c:=?$
Da ich b als neutrales Element gewählt habe, sind direkt drei Ergebnisse festgelegt:
[mm] $b\otimes [/mm] b:=b$
[mm] $b\otimes [/mm] c:=c$
[mm] $c\otimes [/mm] b:=c$
Es bleibt noch [mm] $c\otimes [/mm] c$ zu definieren.
Es kann aber [mm] $c\otimes [/mm] c=c$ gelten, weil wir dann ein zweites neutrales Element in der Gruppe hätte -- das neutrale Element ist aber immer eindeutig festgelegt. Wir haben nur eine Wahl, nämlich
[mm] $c\otimes [/mm] c:=b$
Diese scheinbar eindeutige Definition der Gruppe entledigt uns aber nicht davon, jetzt noch die Gruppenaxiome zu überprüfen, denn es sind ja nicht alle bisher in unsere Definition eingeflossen.
Man kann aber schon sagen, dass, wenn es eine Gruppe mit zwei Elementen gibt, man die Verknüpfung nur so definieren kann.
Diese Gruppenaxiome suchst du dir am besten jetzt mal selbst heraus und überpüfst sie Element für Element.
Für das Assoziativgesetz sind zum Beispiel folgende 8 Gleichungen zu überprüfen (einige davon kann man sicher auf vorherige Fälle zurückführen:
$b [mm] \otimes (b\otimes [/mm] b)=(b [mm] \otimes b)\otimes [/mm] b$
$b [mm] \otimes (b\otimes [/mm] c)=(b [mm] \otimes b)\otimes [/mm] c$
$b [mm] \otimes (c\otimes [/mm] b)=(b [mm] \otimes c)\otimes [/mm] b$
$b [mm] \otimes (c\otimes [/mm] c)=(b [mm] \otimes c)\otimes [/mm] c$
$c [mm] \otimes (b\otimes [/mm] b)=(b [mm] \otimes b)\otimes [/mm] b$
$c [mm] \otimes (b\otimes [/mm] c)=(b [mm] \otimes b)\otimes [/mm] c$
$c [mm] \otimes (c\otimes [/mm] b)=(b [mm] \otimes c)\otimes [/mm] b$
$c [mm] \otimes (c\otimes [/mm] c)=(b [mm] \otimes c)\otimes [/mm] c$
Das ist viel Schreibarbeit, aber immerhin nicht sehr anspruchsvoll.
Das gleiche ist dann noch für die additive Gruppe zu erledigen 
Viel Spaß,
Marc
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