Körper mit 6 Elementen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Widerlegen Sie: Es gibt einen Körper mit 6 Elementen. |
Hallo!
Wir haben die Aufgabe in Lineare Algebra I bekommen, daher ist eigentlich nicht wirklich viel Vorwissen über die Körper/Gruppentheorie vorhanden, was ich benutzen darf.
Was ich weiß (und hoffe, dass es richtig ist):
Wenn der Körper 6 Elemente hat, dann muss die Charakteristik größer als 0 und kleiner als 7 sein. (Prinzip: Da K endlich, gibt es Zahlen [mm] m,n\in\IN [/mm] mit m*1 = n*1, daraus folgt dann (m-n)*1=0).
Also kommt als Charakteristik für den Körper nur 2,3 oder 5 in Frage, weil die Charakteristik prim sein muss.
Es ist also entweder 1+1=0, 1+1+1=0, oder 1+1+1+1+1=0.
Ich vermute, dass man jetzt jeden Fall durchgehen und zum Widerspruch führen muss. Allerdings weiß ich nicht genau, wie ich da vorgehen soll...
Kann mir bitte jemand helfen?
Vielen Dank!
Grüße,
Stefan
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> Widerlegen Sie: Es gibt einen Körper mit 6 Elementen.
> Hallo!
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> Wir haben die Aufgabe in Lineare Algebra I bekommen, daher
> ist eigentlich nicht wirklich viel Vorwissen über die
> Körper/Gruppentheorie vorhanden, was ich benutzen darf.
>
> Was ich weiß (und hoffe, dass es richtig ist):
>
> Wenn der Körper 6 Elemente hat, dann muss die
> Charakteristik größer als 0 und kleiner als 7 sein.
> (Prinzip: Da K endlich, gibt es Zahlen [mm]m,n\in\IN[/mm] mit m*1 =
> n*1, daraus folgt dann (m-n)*1=0).
>
> Also kommt als Charakteristik für den Körper nur 2,3 oder
> 5 in Frage, weil die Charakteristik prim sein muss.
>
> Es ist also entweder 1+1=0, 1+1+1=0, oder 1+1+1+1+1=0.
>
> Ich vermute, dass man jetzt jeden Fall durchgehen und zum
> Widerspruch führen muss. Allerdings weiß ich nicht genau,
> wie ich da vorgehen soll...
>
> Kann mir bitte jemand helfen?
Hallo,
so sollte es doch funktionieren (?):
K habe die Charakteristik p.
Dann ist [mm] K_u:=\{0, 1, 1+1, ... (p-1)*1\} [/mm] ein Unterkörper von K, [mm] |K_u|=p
[/mm]
Wir betrachten nun K als VR über den Körper [mm] K_u.
[/mm]
Die Dimension n von K über [mm] K_u [/mm] kann ja nun höchstens =6 sein.
Und wir wissen, wieviele Elemente ein n-dimensionaler VR über einem Körper der Mächtigkeit p enthält.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
erstmal danke für deine Antwort!
> > Also kommt als Charakteristik für den Körper nur 2,3 oder
> > 5 in Frage, weil die Charakteristik prim sein muss.
> >
> > Es ist also entweder 1+1=0, 1+1+1=0, oder 1+1+1+1+1=0.
> so sollte es doch funktionieren (?):
>
> K habe die Charakteristik p.
>
> Dann ist [mm]K_u:=\{0, 1, 1+1, ... (p-1)*1\}[/mm] ein Unterkörper
> von K, [mm]|K_u|=p[/mm]
Kannst du mir sagen, was ein Unterkörper eines Körpers K eigentlich genau ist? Unsere Vorlesung wird zwar auf Fischers Linearer Algebra aufgebaut, aber er verwendet das Wort auch ganz plötzlich...
> Wir betrachten nun K als VR über den Körper [mm]K_u.[/mm]
>
>
> Die Dimension n von K über [mm]K_u[/mm] kann ja nun höchstens =6
> sein.
>
> Und wir wissen, wieviele Elemente ein n-dimensionaler VR
> über einem Körper der Mächtigkeit p enthält.
Ich verstehe diese Überlegungen, weiß aber nicht genau wo das hinführen soll  . Eine Frage zum Endergebnis: Entsteht ein Widerspruch?
Grüße,
Stefan
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> Hallo Angela,
>
> erstmal danke für deine Antwort!
>
> > > Also kommt als Charakteristik für den Körper nur 2,3 oder
> > > 5 in Frage, weil die Charakteristik prim sein muss.
> > >
> > > Es ist also entweder 1+1=0, 1+1+1=0, oder 1+1+1+1+1=0.
>
> > so sollte es doch funktionieren (?):
> >
> > K habe die Charakteristik p.
> >
> > Dann ist [mm]K_u:=\{0, 1, 1+1, ... (p-1)*1\}[/mm] ein Unterkörper
> > von K, [mm]|K_u|=p[/mm]
>
> Kannst du mir sagen, was ein Unterkörper eines Körpers K
> eigentlich genau ist? Unsere Vorlesung wird zwar auf
> Fischers Linearer Algebra aufgebaut, aber er verwendet das
> Wort auch ganz plötzlich...
Hallo,
eine Teilmenge eines Körpers, welche selbst wieder ein Körper ist. (Wie bei Untergruppe, Unterraum)
>
> > Wir betrachten nun K als VR über den Körper [mm]K_u.[/mm]
> >
> >
> > Die Dimension n von K über [mm]K_u[/mm] kann ja nun höchstens =6
> > sein.
> >
> > Und wir wissen, wieviele Elemente ein n-dimensionaler VR
> > über einem Körper der Mächtigkeit p enthält.
>
> Ich verstehe diese Überlegungen, weiß aber nicht genau wo
> das hinführen soll . Eine Frage zum Endergebnis:
> Entsteht ein Widerspruch?
Ja: die Mächigkeit von K muß [mm] p^n [/mm] sein, also [mm] 2^n, 3^n, 5^n, [/mm] aber die 6 ist nicht solch eine Potenz.
Gruß v. Angela
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Angela,
erstmal wieder vielen Dank für deine Antwort!
> > Kannst du mir sagen, was ein Unterkörper eines Körpers K
> > eigentlich genau ist?
> eine Teilmenge eines Körpers, welche selbst wieder ein
> Körper ist. (Wie bei Untergruppe, Unterraum)
Okay. Ich hatte Probleme damit, das direkt mit Unterraum zu identifizieren, weil ich ja die Körper meistens durch die Verknüpfungstafeln definiere, und wenn da bei 0,1,a,b, plötzlich in der Spalte von a das "b" steht, kann ich ja nicht so ohne weiteres den 3-elementigen Unterkörper daraus ableiten, indem ich nur die Operationen einschränke...
...................
Okay, das versuche ich jetzt nochmal ausführlich in einen Beweis zu fassen:
Es gibt keinen Körper mit 6 Elementen.
Beweis:
Ang., es gäbe Körper K mit 6 Elementen. Dann folgt char(K) = p mit p prim und p < 6.
Also, dann ist auf jeden Fall der Körper
[mm] K_{u}:=\{0,1,...,(p-1)*1\}
[/mm]
ein Unterkörper von K.
Betrachte K als VR über [mm] K_{u}. [/mm] (Müsste ich nicht nachweisen, dass das wirklich ein VR ist?) Ich habe ehrlich gesagt auch Probleme, das nachzuweisen, z.B. [mm] \lambda,\mu\in K_{u}, v\in [/mm] K. Dann müsste gelten: [mm] \lambda*(\mu*v) [/mm] = [mm] (\lambda*\mu)*v. [/mm] Das Problem ist, finde ich, dass [mm] K_{u} [/mm] im schlimmsten Fall gar nichts mehr mit K zu tun hat? (bzgl. der Verknüpfungstafeln?)
Dimension von K kann höchstens 6 sein - weil K nur 6 Elemente hat?
Wenn K Dimension n über [mm] K_{u} [/mm] hat, wobei [mm] |K_{u}|=p, [/mm] hat K also [mm] p^{n} [/mm] verschiedene Elemente.
Nun findet man aber kein passendes n, sodass das hinhaut und [mm] p^{n} [/mm] = 6 gilt.
Wozu genau ist das jetzt eigentlich ein Widerspruch?
Vielen Dank für erneute Hilfe
Grüße,
Stefan
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> Hallo Angela,
>
> erstmal wieder vielen Dank für deine Antwort!
>
> > > Kannst du mir sagen, was ein Unterkörper eines Körpers K
> > > eigentlich genau ist?
>
> > eine Teilmenge eines Körpers, welche selbst wieder ein
> > Körper ist. (Wie bei Untergruppe, Unterraum)
>
> Okay. Ich hatte Probleme damit, das direkt mit Unterraum zu
> identifizieren, weil ich ja die Körper meistens durch die
> Verknüpfungstafeln definiere, und wenn da bei 0,1,a,b,
> plötzlich in der Spalte von a das "b" steht, kann ich ja
> nicht so ohne weiteres den 3-elementigen Unterkörper
> daraus ableiten, indem ich nur die Operationen
> einschränke...
Hallo,
aber jetzt ist Dir klar, daß [mm] K_u [/mm] selbst auch ein Körper ist?
>
> ...................
>
> Okay, das versuche ich jetzt nochmal ausführlich in einen
> Beweis zu fassen:
> Es gibt keinen Körper mit 6 Elementen.
>
> Beweis:
>
> Ang., es gäbe Körper K mit 6 Elementen. Dann folgt
> char(K) = p mit p prim und p < 6.
>
> Also, dann ist auf jeden Fall der Körper
>
> [mm]K_{u}:=\{0,1,...,(p-1)*1\}[/mm]
>
> ein Unterkörper von K.
Ja.
> Betrachte K als VR über [mm]K_{u}.[/mm] (Müsste ich nicht
> nachweisen, dass das wirklich ein VR ist?) Ich habe ehrlich
> gesagt auch Probleme, das nachzuweisen, z.B. [mm]\lambda,\mu\in K_{u}, v\in[/mm]
> K. Dann müsste gelten: [mm]\lambda*(\mu*v)[/mm] = [mm](\lambda*\mu)*v.[/mm]
Da die Elemente von [mm] K_u [/mm] doch auch Elemente von K sind, haben wir es hier doch einfach mit den Regeln für das Rechnen in K zu tun.
> Das Problem ist, finde ich, dass [mm]K_{u}[/mm] im schlimmsten Fall
> gar nichts mehr mit K zu tun hat? (bzgl. der
> Verknüpfungstafeln?)
Doch. [mm] K_u [/mm] ist doch eine Teilmenge von K, und alles, was Du über das Verrechnen von Elementen aus [mm] K_u [/mm] und K wissen mußt, steht in den Verknüpfungstafeln von K.
>
> Dimension von K kann höchstens 6 sein - weil K nur 6
> Elemente hat?
Ja.
>
> Wenn K Dimension n über [mm]K_{u}[/mm] hat, wobei [mm]|K_{u}|=p,[/mm] hat K
> also [mm]p^{n}[/mm] verschiedene Elemente.
>
> Nun findet man aber kein passendes n, sodass das hinhaut
> und [mm]p^{n}[/mm] = 6 gilt.
> Wozu genau ist das jetzt eigentlich ein Widerspruch?
[mm] p^n [/mm] ist doch die Anzahl der Elemente, die der 6-elementige VR K der Dimension n über dem p-elementigen Körper [mm] K_u [/mm] hat.
Also hat K gleichzeitig [mm] p^n [/mm] und 6 Elemente, und damit ist die Annahme, daß es einen Körper mit 6 Elementen gibt, zum Widerspruch geführt.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank für erneute Hilfe
>
> Grüße,
> Stefan
>
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Hallo Angela,
> aber jetzt ist Dir klar, daß [mm]K_u[/mm] selbst auch ein Körper
> ist?
Ja, das ist mir jetzt schon klar. Aber unten habe ich noch eine Frage.
> > K. Dann müsste gelten: [mm]\lambda*(\mu*v)[/mm] = [mm](\lambda*\mu)*v.[/mm]
>
> Da die Elemente von [mm]K_u[/mm] doch auch Elemente von K sind,
> haben wir es hier doch einfach mit den Regeln für das
> Rechnen in K zu tun.
>
> > Das Problem ist, finde ich, dass [mm]K_{u}[/mm] im schlimmsten Fall
> > gar nichts mehr mit K zu tun hat? (bzgl. der
> > Verknüpfungstafeln?)
>
> Doch. [mm]K_u[/mm] ist doch eine Teilmenge von K, und alles, was Du
> über das Verrechnen von Elementen aus [mm]K_u[/mm] und K wissen
> mußt, steht in den Verknüpfungstafeln von K.
Ich habe jetzt hier mal ein Beispiel gemacht, das mein Problem verdeutlichen soll:
Körper mit 4 Elementen:
* | 0 | 1 | a | b | + | 0 | 1 | a | b |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | a | b |
1 | 0 | 1 | a | b | 1 | 1 | 0 | b | a |
a | 0 | a | b | 1 | a | a | b | 0 | 1 |
b | 0 | b | 1 | a | b | b | a | 1 | 0 |
Körper mit 3 Elementen:
* | 0 | 1 | a | + | 0 | 1 | a |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | a |
1 | 0 | 1 | a | 1 | 1 | a | 0 |
a | 0 | a | 1 | a | a | 0 | 1 |
Und nun ist ja der Körper mit 4 Elementen ein VR über dem Körper über 3 Elementen, oder? (wenn der mit 6 Elementen ein VR über dem mit 5 ist?).
Hier gilt aber nicht
(a*a)*b = a*(a*b)
1*b = a*1
?
> [mm]p^n[/mm] ist doch die Anzahl der Elemente, die der 6-elementige
> VR K der Dimension n über dem p-elementigen Körper [mm]K_u[/mm]
> hat.
> Also hat K gleichzeitig [mm]p^n[/mm] und 6 Elemente, und damit ist
> die Annahme, daß es einen Körper mit 6 Elementen gibt,
> zum Widerspruch geführt.
Habe ich damit nicht erstmal grundsätzlich nur gezeigt, dass ich keinen Vektorraum von K über [mm] K_{u} [/mm] bilden darf? (Blöde Frage, aber ich will's ja verstehen )
Danke für deine (Eure) Geduld!
Grüße,
Stefan
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> Hallo Angela,
>
> > aber jetzt ist Dir klar, daß [mm]K_u[/mm] selbst auch ein Körper
> > ist?
>
> Ja, das ist mir jetzt schon klar. Aber unten habe ich noch
> eine Frage.
>
> > > K. Dann müsste gelten: [mm]\lambda*(\mu*v)[/mm] = [mm](\lambda*\mu)*v.[/mm]
> >
> > Da die Elemente von [mm]K_u[/mm] doch auch Elemente von K sind,
> > haben wir es hier doch einfach mit den Regeln für das
> > Rechnen in K zu tun.
> >
> > > Das Problem ist, finde ich, dass [mm]K_{u}[/mm] im schlimmsten Fall
> > > gar nichts mehr mit K zu tun hat? (bzgl. der
> > > Verknüpfungstafeln?)
> >
> > Doch. [mm]K_u[/mm] ist doch eine Teilmenge von K, und alles, was Du
> > über das Verrechnen von Elementen aus [mm]K_u[/mm] und K wissen
> > mußt, steht in den Verknüpfungstafeln von K.
>
> Ich habe jetzt hier mal ein Beispiel gemacht, das mein
> Problem verdeutlichen soll:
>
> Körper [mm] K_4 [/mm] mit 4 Elementen:
>
> * | 0 | 1 | a | b | + | 0 | 1 | a | b |
> 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | a | b |
> 1 | 0 | 1 | a | b | 1 | 1 | 0 | b | a |
> a | 0 | a | b | 1 | a | a | b | 0 | 1 |
> b | 0 | b | 1 | a | b | b | a | 1 | 0 |
>
> Körper [mm] K_3 [/mm] mit 3 Elementen:
>
> * | 0 | 1 | a | + | 0 | 1 | a |
> 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | a |
> 1 | 0 | 1 | a | 1 | 1 | a | 0 |
> a | 0 | a | 1 | a | a | 0 | 1 |
Hallo,
die Situation ist hier völlig anders als in Deiner Aufgabe:
Du bezeichnest hier die Elemente von [mm] K_4 [/mm] mit 0,1,a,b,
die von [mm] K_3 [/mm] mit 0,1,a.
Aber Dein a [mm] \in K_3 [/mm] ist nicht dasselbe wie in das a in [mm] K_4, [/mm] denn in [mm] K_3 [/mm] ist a+a=1, in [mm] K_4 [/mm] ist a+a=b.
Es ist Dein [mm] K_3 [/mm] also keinesfalls ein Unterkörper von [mm] K_4. [/mm] (Beim Unterkörper ist die Menge eine Teilmenge, die Verknüpfungen aber dieselben wie im zugrundeliegenden Körper.)
>
> Und nun ist ja der Körper mit 4 Elementen ein VR über dem
> Körper über 3 Elementen, oder?
Da müßten wir erstmal wissen, wie wir die Elemente 0', 1', a' des [mm] K_3 [/mm] mit den Elementen 0,1,a,b des [mm] K_4 [/mm] verknüpfen sollen.
Diese Situation war in der Aufgabe bzw. im Beweis eine andere.
Die Verknüpfungen waren hier die des Körpers K, welche natürlich auch die in [mm] K_u [/mm] sind.
> (wenn der mit 6 Elementen
> ein VR über dem mit 5 ist?).
>
> Hier gilt aber nicht
>
> (a*a)*b = a*(a*b)
>
> 1*b = a*1
>
> ?
>
> > [mm]p^n[/mm] ist doch die Anzahl der Elemente, die der 6-elementige
> > VR K der Dimension n über dem p-elementigen Körper [mm]K_u[/mm]
> > hat.
> > Also hat K gleichzeitig [mm]p^n[/mm] und 6 Elemente, und damit
> ist
> > die Annahme, daß es einen Körper mit 6 Elementen gibt,
> > zum Widerspruch geführt.
>
> Habe ich damit nicht erstmal grundsätzlich nur gezeigt,
> dass ich keinen Vektorraum von K über [mm]K_{u}[/mm] bilden darf?
Es gibt doch keinen Grund dafür, daß man das nicht tun darf. Man kann doch zeigen, daß K ein VR über [mm] K_u [/mm] ist, indem man die entsprechenden Axiome vorrechnet.
Vorausgesetzt jeder Beweisschritt ist richtig, dann hat man hier einen Widerspruch zu der Annahme |K|=6.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
vielen Dank für die Erläuterungen!
Das bedeutet, bei der Konstruktion des Vektorraums benutze ich für alle angewandten Operationen (Skalare MUlt, Addtition, Rechnen im Körper [mm] K_{u}) [/mm] die Operationen von K?
Aber woher weiß ich denn, dass immer solch ein Unterkörper [mm] K_{u} [/mm] existiert, mit welchem die Operationen von K Sinn machen?
Grüße,
Stefan
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> Das bedeutet, bei der Konstruktion des Vektorraums benutze
> ich für alle angewandten Operationen (Skalare MUlt,
> Addtition, Rechnen im Körper [mm]K_{u})[/mm] die Operationen von
> K?
Hallo,
ja. Mir ist das so klar, daß ich es nicht extra erwähnt habe.
Ihr habt doch sicher gezeigt, daß jeder Körper K ein Vektorraum über sich selbst ist.
Da nimmt man ja auch die Multiplikation im Körper als Multiplikation mit Skalaren.
Vielleicht schaust Du Dir das nochmal an. Nein, anders: schau Dir das nochmal an!
>
> Aber woher weiß ich denn, dass immer solch ein
> Unterkörper [mm]K_{u}[/mm] existiert, mit welchem die Operationen
> von K Sinn machen?
Die Menge [mm] K_u [/mm] haben wir je bekommen, indem wir die Elemente gesammelt haben, die entstehen, wenn man wiederholt die 1 addiert.
Aufgrund dessen, was Du über die Charakteristik ins Feld geführt hast, ist [mm] K_u [/mm] endlich, wir hatten für die Mächtigkeit 2,3 oder 5 zur Auswahl.
Daß diese Menge zusammen mit den beiden Verknüpfungen des Oberkörpers K ein Körper ist, kannst Du Dir selbst überlegen. Denk ggf. drüber nach, warum [mm] (K_u,+) [/mm] eine Untergruppe von (K,+) ist und [mm] (K_u,\*) [/mm] eine Untergruppe von [mm] (K,\*).
[/mm]
(Mach Dir auch klar, warum es gar nicht anders sein kann, als daß das Distributivgesetz in [mm] (K_u,+,\*) [/mm] gilt.)
Vergiß nicht, daß die Elemente von [mm] K_u [/mm] allesamt Elemente des Körpers K sind!
Gruß v. Angela
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Angela,
vielen Dank für deine Antwort!
Habe heute nochmal intensivst drüber nachgedacht und mir sind einige Lichter aufgegangen. Was mir jetzt noch fehlt, ist das, was du schreibst:
> Daß diese Menge zusammen mit den beiden Verknüpfungen des
> Oberkörpers K ein Körper ist, kannst Du Dir selbst
> überlegen. Denk ggf. drüber nach, warum [mm](K_u,+)[/mm] eine
> Untergruppe von (K,+) ist und [mm](K_u,\*)[/mm] eine Untergruppe von
> [mm](K,\*).[/mm]
> (Mach Dir auch klar, warum es gar nicht anders sein kann,
> als daß das Distributivgesetz in [mm](K_u,+,\*)[/mm] gilt.)
Das will ich jetzt nochmal versuchen zu beweisen.
Also, warum ist [mm] $(K_{u} [/mm] = [mm] \{0,1,...,(p-1)*1\},+)$ [/mm] eine Untergruppe von K.
Dass die [mm] (K_{u},+) [/mm] das neutrale Element enthält, ist klar.
Noch zu zeigen:
- Für [mm] $a,b\in K_{u}$ [/mm] mit $a = n*1$ und $b = m*1$ [mm] (1\le [/mm] m [mm] \le [/mm] n [mm] \le [/mm] p) ist $a+b = n*1 + m*1 = (n+m)*1$. Entweder ist (n+m) [mm] \le [/mm] p, dann ist klar [mm] a+b\in K_{u}, [/mm] oder $p < (n+m) [mm] \le [/mm] 2p$, dann gilt aber wieder 1 [mm] \le [/mm] (n+m) - p [mm] \le [/mm] p, weil sich ja p Einsen summiert wieder zu 0 ergeben (Charakteristik), also ist auch dann [mm] a+b\in K_{u}.
[/mm]
[ Ich meine hier stets n*1 als Symbolschreibweise für [mm] \underbrace{1+...+1}_{n-mal} [/mm] ]
Ist die Überlegung so richtig?
- Für [mm] $a\in K_{u}$ [/mm] mit $a = n*1$ [mm] (1\le [/mm] n < p) ist $-a = -n*1$. Das Inverse von [mm] $a\in [/mm] K$ hat nun gerade die Form $-a = (p-n)*1 [mm] \in K_{u}$ [/mm] wegen 1 [mm] \le [/mm] (p-n) [mm] \le [/mm] p, denn dann gilt: a + (-a) = n*1 + (p-n)*1 = p*1 = 0.
Ist das so auch okay?
Ich vermute, der Nachweis für die Multiplikation geht ähnlich?
Dann blieben jetzt noch die Distributivgesetze in [mm] K_{u} [/mm] zu beweisen. Das scheint mir aber offensichtlich, da ja [mm] K_{u} [/mm] nur eine Teilmenge von K ist? Bzw. würde das Distributivgesetz für irgendwelche Elemente aus [mm] K_{u} [/mm] nicht gelten, würde das sofort nach sich ziehen, dass sie auch in K nicht gelten, oder?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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Hallo,
Deine Überlegungen sind allesamt richtig.
Gruß v. Angela
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Vielen Dank, Angela!
Grüße,
Stefan
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