Körper mit 9 Elementen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich soll beweisen, dass ein Körper mit 9 Elementen existiert. In der Vorlesung haben wir hergeleitet, dass es Körper mit primzahl vielen Elementen gibt( [mm] F_p [/mm] ). Ich denke ich muss nun irgendwie einen Körper
[mm] F_3 [/mm] x [mm] F_3 [/mm] bilden oder? Ich weiß nur nicht, wie ich dabei vorgehen soll. Wäre sehr dankbar über hilfreiche Tips.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich bin mir nicht so ganz sicher, aber könntest du nicht einfach z. B. die Elemente 0,1,2,3,4,5,6,7,8 nehmen, darauf eine Addition und eine Multiplikation definieren und dann die Körperaxiome zeigen?
Aber vielleicht geht es auch etwas mathematischer ohne rechnen. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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ja das habe ich mir auch schon gedacht, aber irgendwie muss das einfacher gehen, weil ich in der zweiten aufgabe beweisen muss, dass es auch einenen Körper mit 25 Elementen gibt.
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Die Frage ist gar nicht so einfach zu beantworten. Es hängt davon ab, welche Konstruktionen für Körper ihr in der Vorlesung schon behandelt habt.
Die Standardkonstruktion geht so: Nimm den Körper [mm]\mathbb{Z}_3 = \left\{ 0, 1, -1 \right\}[/mm] mit drei Elementen und betrachte im Polynomring [mm]\mathbb{Z}_3[x][/mm] das irreduzible Polynom [mm]x^2 + 1[/mm]. Faktorisiere den Polynomring nach dem von diesem Polynom erzeugten Hauptideal. Dann bekommst du einen Körper mit 9 Elementen.
Du kannst es auch so sehen: Nimm ein in [mm]\mathbb{Z}_3[/mm] nicht vorhandenes Objekt [mm]\operatorname{i}[/mm]. Betrachte nun alle formalen Summen [mm]a + \operatorname{i} b[/mm] mit [mm]a,b \in \mathbb{Z}_3[/mm] und rechne beim Addieren mit ihnen komponentenweise (behandle also [mm]\operatorname{i}[/mm] wie eine Variable), beim Multiplizieren distributiv unter Verwendung der Regel [mm]\operatorname{i}^2 = -1[/mm]. So bekommst du auch einen Körper mit 9 Elementen. Wie du merkst, wird die Konstruktion von [mm]\mathbb{C}[/mm] aus [mm]\mathbb{R}[/mm] hier nachgespielt.
Wenn dir der zweite Zugang etwas unheimlich ist, kannst du ihn auch formal korrekt beschreiben durch
[mm]K = \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3[/mm]
mit komponentenweiser Addition und der folgendermaßen definierten Multiplikation
[mm](a_1,b_1) \cdot (a_2,b_2) = (a_1 a_2 - b_1 b_2 \, , \, a_1 b_2 + a_2 b_1)[/mm]
Auch das sollte dir bekannt vorkommen, wenn du an die Definition von [mm]\mathbb{C}[/mm] denkst.
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Wir haben [mm] F_3 [/mm] definiert durch teilen durch drei mit Rest. Daraus entstand dann der Körper. Mit Polynomen haben wir gar nichts gemacht. Der Tutor hat in der Übung gesagt, wir müssen irgendwie [mm] F_3 xF_3 [/mm] bilden und erhalten dann anscheinend [mm] F_9
[/mm]
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Was bei euch [mm]F_3[/mm] heißt, heißt bei mir [mm]\mathbb{Z}_3[/mm]. Ansonsten habe ich ja in meinem vorigen Beitrag geschrieben, wie das geht. Das Problem ist die Multiplikation in [mm]\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3[/mm]. Wenn man das komponentenweise macht, bekommt man keinen Körper (probiere aus, woran es scheitert!). Man muß die Multiplikation wie bei der Konstruktion von [mm]\mathbb{C}[/mm] definieren. Dann klappt es.
Und der Körper mit 25 Elementen ist noch vertrackter. Das kann man nicht wie bei [mm]\mathbb{Z}_3[/mm] mit einem [mm]\operatorname{i}[/mm] und [mm]\operatorname{i}^2 = -1[/mm] machen, weil nämlich das Polynom [mm]x^2 + 1[/mm] über [mm]\mathbb{Z}_5[/mm] schon Nullstellen besitzt. Man muß dann ein [mm]\operatorname{j}[/mm] mit der Festlegung [mm]j^2 = -j-1[/mm] nehmen. Dann geht es auch. Mit Zahlenpaaren sieht das dann so aus:
[mm]K = \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_5[/mm]
Addition: [mm](a_1,b_1) + (a_2,b_2) := (a_1+a_2 \, , \, b_1+b_2)[/mm]
Multiplikation: [mm](a_1,b_1) \cdot (a_2,b_2) := (a_1 a_2 - b_1 b_2 \, , \, a_1 b_2 + a_2 b_1 - b_1 b_2)[/mm]
Multiplikativ invers zu [mm](a,b)[/mm] ist dann [mm](a,b)^{-1} = \left( \frac{a-b}{a^2 - ab + b^2} \, , \, \frac{-b}{a^2 - ab + b^2} \right)[/mm]
Das erscheint mir aber alles recht kompliziert. Habt ihr zur Lösung keine Hinweise bekommen?
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Vielen Dank erst mal. mehr als dass es irgendwie mit [mm] F_5 xF_5 [/mm] gehen muss nicht. und sowas mit [mm] x^2 [/mm] +1 und nullstelle haben wir noch nie gemacht.
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Dann kann ich dir auch nicht weiterhelfen.
Versuch erst einmal, den Körper mit 9 Elementen zu konstruieren. Vielleicht nimmst du meine letzte Definition:
[mm]K = \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3[/mm]
[mm]\text{Addition:} \ \ (a_1,b_1) + (a_2,b_2) := (a_1+a_2 \, , \, b_1+b_2)[/mm]
[mm]\text{Multiplikation:} \ \ (a_1,b_1) \cdot (a_2,b_2) := (a_1 a_2 - b_1 b_2 \, , \, a_1 b_2 + a_2 b_1)[/mm]
Weise jetzt die Körperaxiome nach (daß die Menge aus 9 Elementen besteht, ist wohl klar). Etwas Mühe dürfte nur das multiplikative Inverse machen. Notfalls schaust du nach, wie man das bei komplexen Zahlen macht. Hier geht es analog.
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