Körper mit vier Elementen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Do 27.07.2006 | | Autor: | Centaur |
| Aufgabe | | Es sei K=({0,1,a,b}, +, *) ein Körper mit vier Elementen. Bestimmen Sie für alle Paare von Elementen aus K das Produkt in K. |
Hallo allerseits ich habe zu dieser nicht allzu schweren Aufgabe, ein paar Fragen und würde mich über eine Antwort sehr freuen.
Ersteinmal folgt aus der Aussage "Körper mit vier Elementen" schon das a, b ungleich 0 und ungleich 1 sind?
Ich habe mir zur Lösung überlegt, dass es 10 Paare geben muss, deren multiplikatives Ergebnis ich für 0 und 1 kenne. Auch a*b konnte ich durch Widerspruch als 1 errechnen.
Das Einzige was mir noch fehlt ist, dass ich zwar weiß, dass a*a= b sein soll, ich aber die Gleichung a*a=1 nicht zu einem Widerspruch geführt bekomme. a*a=b und a*a=a dagegen schon. (Analoges schaffe ich auch nicht für b*b)
Kann mir jemand den entscheidendenen Kniff verraten?
Christoph
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hi,
zunächst einmal folgt aus der Aussage "Körper mit vier Elementen" scho, dass a, b ungleich 0 und ungleich 1 sind, ansonsten wär es ja ein Körper mit weniger als 4 Elementen, richtig?
Du konntest schon a*b=1 zeigen. Daraus folgt dann aber doch, dass [mm] b=a^{-1} [/mm] und [mm] a=b^{-1} [/mm] ( da K ein Körper ist, ist das Inverse ja eindeutig festgelegt) ist. Angenommen jetzt, dass a*a=1 gilt. Dann müssten aber [mm] a=a^{-1} [/mm] sein, was im Widerspruch zu [mm] a=b^{-1} [/mm] steht...
Ich find meine Begründung logisch 
Viel Erfolg noch...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Fr 28.07.2006 | | Autor: | Centaur |
Nein du hast recht es ist absolut logisch was du sagst und auch der entscheidende Schritt um den es mir ging. Also Danke für die Antwort.
Ich bin nicht drauf gekommen, weil ich mich immer nur darauf konzentriert habe einen Widerspruch aus a*a zu konstruieren ohne auf bisher Bekanntes zurückzugreifen.
Also nochmals danke.
Chris
|
|
|
|
