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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Di 09.12.2008 | | Autor: | Schloss |
| Aufgabe | Sei [mm] M\subseteq \IR [/mm] [x] die Menge aller Polynome p(x), deren Koeffizienten geradzahlig sind. Man überprüfe für die Menge M bezüglich der Addition und Multiplikation von Polynomen die
Gültigkeit der Körperaxiome und stelle fest, welche algebraische Struktur vorliegt. |
Hallo,
kann ich die polynome als [mm] \summe_{i=1}^{n}a_{2i} x^{2i} [/mm] schreiben?
Zu zeigen ist die Assoziativität, Kommutativität, Existenz des Null/Einselements und die Existenz der Inversen.
Wie kann ich jetzt ansetzen, bin mir nicht so sicher mit der Summe.
mfg Schloss
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Hi,
also zunächst mal sind damit ja Polynome dieser Form hier gemeint:
[mm] f(x)=\produkt_{i=1}^{n}2*a_{i}x^{i}.
[/mm]
Wenn nur die Koeffizienten ganzzahlig sein sollen, brauchst du bei den Exponenten nix zu verändern.
Das Nullelement wird wohl bezüglich der Addition das Nullpolynom. Existiert es auch bezüglich der Multiplikation? Überleg mal!
Das Einselement bezüglich der Multiplikation ist das Polynom f=1. Existiert auch eine Einselement bezgl. der Addition?
Das Distributivgesetz gilt natürlich. Du weißt ja wie man Polynome addiert oder subtrahiert!
Das Assoziativgesetz der Multiplikation folgt aus
[mm] \summe_{k+l=i}a_{k}(\summe_{m+n=l}b_{m}*c_{n})=\summe_{k+m+n=i}a_{k}*b_{m}*c_{n}
[/mm]
[mm] \summe_{l+n=i}(\summe_{k+m=l}a_{k}*b_{m})*c_{n}=\summe_{k+m+n=i}a_{k}*b_{m}*c_{n}
[/mm]
Für die Addition fällt dir vielleicht selber was ein...!
Grüße, Daniel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:12 Di 09.12.2008 | | Autor: | Schloss |
> Hi,
>
> also zunächst mal sind damit ja Polynome dieser Form hier
> gemeint:
>
> [mm]f(x)=\produkt_{i=1}^{n}2*a_{i}x^{i}.[/mm]
ich dachte mit der Multiplikation wäre dann gemeint [mm] \summe_{i=1}^{n}2*a_{i}x^{i}*f(x)=\summe_{i=1}^{n}2*a_{i}x^{i}
[/mm]
also ist mit der Menge aller Polynome nur jedes [mm] a_ix^i [/mm] einzeln gemeint?
>
> Wenn nur die Koeffizienten ganzzahlig sein sollen, brauchst
> du bei den Exponenten nix zu verändern.
>
> Das Nullelement wird wohl bezüglich der Addition das
> Nullpolynom. Existiert es auch bezüglich der
> Multiplikation? Überleg mal!
> Das Einselement bezüglich der Multiplikation ist das
> Polynom f=1. Existiert auch eine Einselement bezgl. der
> Addition?
Das neutrale Element wird doch für die Addition als Nullelement und für die Multiplikation als Einselement bezeichnet, was soll dann die Multiplikation noch für ein Nullelement haben?
>
> Das Distributivgesetz gilt natürlich. Du weißt ja wie man
> Polynome addiert oder subtrahiert!
>
> Das Assoziativgesetz der Multiplikation folgt aus
>
> [mm]\summe_{k+l=i}a_{k}(\summe_{m+n=l}b_{m}*c_{n})=\summe_{k+m+n=i}a_{k}*b_{m}*c_{n}[/mm]
kann man [mm] \summe_{k+m+n=i}a_{k}*b_{m}*c_{n} [/mm] als
[mm] \summe_{k=i}a_{k}*\summe_{m=i}a_{m}*\summe_{n=i}a_{n} [/mm] schreiben?
>
> [mm]\summe_{l+n=i}(\summe_{k+m=l}a_{k}*b_{m})*c_{n}=\summe_{k+m+n=i}a_{k}*b_{m}*c_{n}[/mm]
warum jetzt für die Multiplikation doch Summenzeichen?
> Für die Addition fällt dir vielleicht selber was ein...!
>
> Grüße, Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 11.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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