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| Aufgabe | Aus den Körperaxiomen leite man die folgenden Rechenregeln ab:
(1) −(−a)=a
(2) −a−b=−(a+b)
(3) [mm] (a<{-1})^{-1} [/mm] = a
(4) [mm] a^{-1}b^{-1} [/mm] = [mm] (ab)^{-1} [/mm] |
Guten Tag,
würde das für (1) z.B. so gehen:
-1*(-a)=(-a)*(-1)=a
Viele Grüsse und vielen Dank
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> Aus den Körperaxiomen leite man die folgenden Rechenregeln
> ab:
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> (1) −(−a)=a
> (2) −a−b=−(a+b)
> (3) [mm](a<{-1})^{-1}[/mm] = a
> (4) [mm]a^{-1}b^{-1}[/mm] = [mm](ab)^{-1}[/mm]
>
> Guten Tag,
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> würde das für (1) z.B. so gehen:
>
> -1*(-a)=(-a)*(-1)=a
Hallo,
eher nicht - wobei es natürlich stark darauf ankommt, was Ihr schon alles gezeigt habt.
Bei Deinem "Beweis" oben tun sich Fragen auf:
ich nehme mal an, daß Du -1*(-a) für -(-a) schreibst.
Warum ist das richtig? Was hat -(-a), also das Inverse (bzgl der Addition) von -a mit dem Produkt -1*(-a) zu tun?
Wohlgemerkt sage ich nicht, daß die beiden verschieden sind, aber die Gleichheit müßte schon gezeigt werden bzw. gezeigt worden sein.
Dem Schritt -1*(-a)=(-a)*(-1) kann ich dann gut folgen, das ist das Kommutativgesetz der Multiplikation.
Die Gleichheit (-a)*(-1)=a ist erklärungsbedürftig. Warum ist das so?
Tip: solche Aussagen wie oben zu beweisen fällt einem oftmals schwer, weil einem die Aussagen von Kindesbeinen an vertraut sind und man viele Regeln einfach verinnerlicht hat.
Es geht bei den Aufgaben nicht um die Aussagen an sich, sondern darum, sie sauber zu beweisen.
Zum sauberen Beweisen zwingst Du Dich, wenn Du Dir angewöhnst, bei jedem Schritt, jeder Umformung, die Du machst, eine Begründung anzugeben, z.B. die Nr. des entsprechenden Satzes im Skript - die Korrektoren erwarten das auch. Sonst gibt's Punktabzug.
Den Tip zum Lösen der Aufgabe gab ich oben ganz nebenbei: -(-a) bedeutet in Worten "das Inverse von -a bzgl der Addition". Und Du sollst nun zeigen, daß das =a ist. Na, wie zeigt man, daß a das Inverse von -a ist? man addiert sie. Und wenn 0 rauskommt, weiß man, daß a das Inverse zu -a ist, daß also -(-a)=a gilt.
So, das waren viele Worte zu einer kleinen Aufgabe.
Ich hoffe, daß sie Dir auch bei den anderen Teilaufgaben nützlich sind.
Gruß v. Angela
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Hey vielen Dank, das hat mir schonmal sehr geholfen. Für 1 habe ich jetzt folgendes gemacht
Aus -a+a=0 folgt durch Multipilkation mit (-1)
-1*(-1)*(-1)=-a
-a+a=0
also
(-1)*(-a)=-(-a)=a
Zu 2:
Aus -a +a -b +b = 0 folgt durch multiplikation mit (-1)
-a-b=-(a+b) [mm] \Rightarrow [/mm] a+b=a+b
also -a-b=(-1)*1-(1)*b=(-1)*(a+b)=-(a+b)
Bei 3 bin ich mir ganz unsicher ob das stimmt weil wie du ja gesagt hast, man manche Dinge für selbstversändlich ansieht:
[mm] (a^{-1})^{-1}=\bruch{1}{a^{-1}}=\bruch{1}{\bruch{1}{a}}=\bruch{1}{1}*\bruch{a}{1}=a
[/mm]
Da bin ich mir nicht sicher ob ich das richtig aufgeschrieben habe
Und 4 weiss ich gar nicht^^
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> Hey vielen Dank, das hat mir schonmal sehr geholfen. Für 1
> habe ich jetzt folgendes gemacht
>
> Aus -a+a=0 folgt durch Multipilkation mit (-1)
Hallo,
???
Du brauchst hier nix zu multiplizieren.
Es ist -a+a =0, denn -a bedeutet nichts anderes als "das Inverse von a bzgl Addition".
Wenn die beiden nun addiert die Null ergeben, dann ist auch a das Inverse von -a, in Zeichen a=-(-a).
Damit bist Du fertig.
Zu dem, was Du tust:
> -1*(-1)*(-1)=-a
???
> -a+a=0
Ja.
> also
Wieso also?
> (-1)*(-a)=-(-a)=a
Warum?
>
> Zu 2:
Klären wir, wenn 1. steht.
Dann wird's Dir nämlich leichtfallen.
> Bei 3 bin ich mir ganz unsicher ob das stimmt weil wie du
> ja gesagt hast, man manche Dinge für selbstversändlich
> ansieht:
Ja, und genau das unterläuft Dir hier.
Du tust so, als hättest Du eine reelle Zahl a, und dann hantierst Du unbekümmert mit Brüchen.
Aber für allgemeine Körper habt Ihr sicher gar keine Brüche definiert, oder? Da fängt's schon an...
Auch hier: [mm] (a^{-1})^{-1} [/mm] ist das Inverse von [mm] a^{-1} [/mm] bzgl. der Multiplikation. Daß dieses gerade das Element a ist, ist zu zeigen.
Stell das auch mal zurück, bis Du die Aufg. 1 komplett geschluckt hast - und sie Dir bekommt.
Die 3. ist dassselbe mit der Multiplikation.
>
> [mm](a^{-1})^{-1}=\bruch{1}{a^{-1}}=\bruch{1}{\bruch{1}{a}}=\bruch{1}{1}*\bruch{a}{1}=a[/mm]
>
> Da bin ich mir nicht sicher ob ich das richtig
> aufgeschrieben habe
>
> Und 4 weiss ich gar nicht^^
Wenn Du die 1 kapiert hast, kannst Du die 2., und wenn Du die 2. kapiert hast, kannst Du die 4.
Keine Sorge, kein Streß.
Durchdring' die 1 - dann kannst Du alles.
Nochmal: daß ein Element das Inverse eines anderen ist, zeigt man, indem man guckt, ob beim Verknüpfen das neutrale Element rauskommt.
Gruß v. Angela
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Also was ich jetzt verstanden habe ist, wie man zeigt, das ein Element das Invers des anderen ist nämlich indem man schaut ob beim Verknüpfen das Neutralelement herauskommt.
Damit ist das ja bei 1:
-a + a = 0
D.h. das -a das Inverselement von a ist und damit -(-a)=a ist
genügt das?
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> Also was ich jetzt verstanden habe ist, wie man zeigt, das
> ein Element das Invers des anderen ist nämlich indem man
> schaut ob beim Verknüpfen das Neutralelement herauskommt.
>
> Damit ist das ja bei 1:
>
> -a + a = 0
>
> D.h. das -a das Inverselement von a ist und damit -(-a)=a
> ist
>
> genügt das?
Hallo,
die Argumentation ist falsch.
Richtig ist dies:
es ist -a das Inverse von a, daher gilt (-a)+a=0.
Weil (-a)+a=0 gilt (und jedes Element genau ein Inverses hat) ist a das Inverse von (-a), in Zeichen a=-(-a).
Laß Dir das wirklich ganz langsam auf der Zunge zergehen.
Gruß v. Angela
>
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Also das 1. leuchtet mir jetzt wirklich ein. Zu 2 habe ich jetzt mal geschrieben.
Da jedes Element ein Invers hat: -a ist das Invers von a und -b ist das Invers von B gilt:
(-a)+a=0 und (-b) + b = 0
Kann man jetzt das -(a+b) mit dem Distributgesetz erklären?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Mi 20.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du weisst aus den Axiomen nur :
-(a+b)+(a+b)=0
Du versuchst immer wieder dein Wissen dass (-1)*a=-a ist einzubringen.
a)ihr habt das bewiesen, oder b) du musst es zeigen und kannst es ab dann benutzen
Bei einem Beweis mit Hilfe der Axiome, sollte man immer das oder die Axiome dazuschreiben.
schreib sie hin, numerier sie und nenn sie dann jedes mal
gruss leduart
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Wir haben z.B. aufgeschrieben das gilt:
a+b=b+a (Kommutativität)
Und wir haben auch das Distributivgesetz aufgeschrieben und das gehört doch auch zu den Körperaxiomen. Das hier reicht aber ja wahrscheinlich nicht:
Distributivgesetz
-a-b=(-1)*1-(1)*b=(-1)*(a+b)=-(a+b)
oder.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Mi 20.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) schreib doch mal alle Körperaxiome auf.
Dazu gehört. wie ist 1 definiert, wie -a, und das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz der Addition und das Distrubutivgesetz
b) du hast nicht beantwortet, ob du schon bewiesen hast, dass (-1)*a=-a
c)diese Gleichung ist irgendwie unsinnig:-a-b=(-1)*1-(1)*b=(-1)*(a+b)=-(a+b)
vielleicht nur ein Tipfehler, aber lies deine posts IMMER mit Vorschau nochmal durch VOR dem senden.
Gruss leduart
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> a) schreib doch mal alle Körperaxiome auf.
> Dazu gehört. wie ist 1 definiert, wie -a, und das
> Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz der Addition und
> das Distrubutivgesetz
>
(A1) (a+b)+c=a+(b+c) [mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in \IR [/mm] (Assoziativgesetz)
(A2) a+b=b+a [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IR [/mm] (Kommutativgesetz)
(A3) [mm] \exists [/mm] Nullelement 0 [mm] \in \IR [/mm] mit a+0=a [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IR
[/mm]
(A4) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] existiert das zugehörige negative Element -a mit a+(-a)=0
(M1) (a·b)·c=a·(b·c) [mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in \IR
[/mm]
(M2) a·b=b·a [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IR
[/mm]
(M3) [mm] \exists [/mm] Einselement 1 [mm] \in \IR [/mm] mit a·1 = a [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IR
[/mm]
(M4) [mm] \forall [/mm] a [mm] \not=0 \exists a^{-1} [/mm] (invers Element) mit [mm] a·a^{-1}=1
[/mm]
(D) a·(b+c)=ab+ac [mm] \forall [/mm] a,b,c, [mm] \in \IR
[/mm]
> b) du hast nicht beantwortet, ob du schon bewiesen hast,
> dass (-1)*a=-a
Ist das mit (A4) nicht beweisen?
> c)diese Gleichung ist irgendwie
> unsinnig:-a-b=(-1)*1-(1)*b=(-1)*(a+b)=-(a+b)
> vielleicht nur ein Tipfehler, aber lies deine posts IMMER
> mit Vorschau nochmal durch VOR dem senden.
Sorry es sollte so heissen und da verwendet man doch (D):
-a-b=(-1)*a-(1)*b=(-1)*(a+b)=-(a+b)
oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Mi 20.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
(-1)*a=-a folgt nicht aus A4
aus M3 bekannt 1 und A4 1+(-1)=0
mit D dann a*(1+(-1))=0 => a*1+(-1)*a=0 und damit mit A4 dann (-1)*a=-a
Wenn du das hast:
-a-b=(-1)*a+(-1)*b=(-1)*(a+b)=-(a+b)
einfacher wär:
0=0 mit A4 und A3 (0+0=0) folgt
-a+a-b+b=(a+b)-(a+b) jetzt A2 und A1 -a-b +(a+b)=(a+b)-(a+b)
damit auf beiden Seiten -(a+b) addiert folgt -a-b=-(a+b)
dann brauchst du das oben nicht. und kannst wirklich sagen, welche axiome du verwendet hast .
gruss leduart
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Hey vielen Dank. Das hab ich jetzt verstanden.
Um auf sowas zu kommen:
> 0=0 mit A4 und A3 (0+0=0) folgt
> -a+a-b+b=(a+b)-(a+b) jetzt A2 und A1 -a-b
> +(a+b)=(a+b)-(a+b)
Also z.B. dass du erst sagen musst 0=0 und dann 0+0=0.
Lernt man das mit der Zeit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Do 21.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
man muss nicht immer ganz so genau und vollständig sein, wenn man die Axiome beherrscht, aber am Anfang sollte man sich wirklich bei jedem = überlegen, welche def. oder axiom man verwendet hat. siehe dein nächstes post, wo du deine = nicht mit Axiomen polstern kannst
(schwierig ist das am Anfang, weil du Dinge beweist, die dir schon lange durch (meist gewohnheitsmasigen Umgang) als bekannt und klar vorkommen. Aber irgendwann soll man halt den Aufbau unseres Zahlensystems und unserer rechenregeln nochmal genau durchdenken. viele Abiturienten wissen minus * minus = + können es aber nur mit "was denn sonst" erklären
gruss leduart
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Bei 3:
Kann ich da jetzt folgendes sagen:
[mm] (a^{-1})^{-1}=a
[/mm]
Es gilt M3 mit a*1=a und [mm] a^{-1}=\bruch{1}{a}
[/mm]
[mm] (a^{-1})^{-1}=\bruch{1}{\bruch{1}{a}}=1*a=a
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Do 21.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein, was du hingeschrieben hast
t $ [mm] (a^{-1})^{-1}=\bruch{1}{\bruch{1}{a}}=1\cdot{}a=a [/mm] $ist nur die Behauptung umgeschrieben, also statt hoch-1 1durch-
Du musst die Definition von [mm] (a^{-1})^{-1}
[/mm]
benutzen- das ist das Inverse von [mm] a^{-1} [/mm] (nach M?) also a ist das Inverse von [mm] a^{-1}
[/mm]
die Beh. ist also richtig, wenn [mm] a^{-1}*a=1 [/mm] ist und das ist die Def von [mm] a^{-1}.
[/mm]
Der Beweis läuft völlig analog zu -(-a)=a sieh da nochmal nach.
Gruss leduart
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Kann ich dann also sagen:
Da jedes Element ein Invers beseitzt gilt wegen: M4 [mm] a*a^{-1}=1, [/mm] a ist das Invers von [mm] a^{-1}. [/mm] Daher ist [mm] (a^{-1})^{-1} [/mm] das Invers von [mm] a^{-1} [/mm] und es ist: [mm] (a^{-1})^{-1}=a
[/mm]
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> Da jedes Element ein Invers beseitzt gilt wegen: M4
> [mm]a*a^{-1}=1,[/mm] a ist das Invers von [mm]a^{-1}.[/mm]
> Daher ist
> [mm](a^{-1})^{-1}[/mm] das Invers von [mm]a^{-1}[/mm] und es ist:
> [mm](a^{-1})^{-1}=a[/mm]
Hallo,
so wie es dasteht, kann man der Logik nicht gut folgen. Obgleich die richtigen Bausteine heraumliegen, ist's noch kein Türmchen.
Ich argumentiere so:
[mm] a^{-1} [/mm] ist das inverse Element von a (bzgl. der Multiplikation).
Also ist nach [mm] a*a^{-1}=1.
[/mm]
Wegen der Kommutativität der Multiplikation ist auch [mm] a^{-1}*a=1.
[/mm]
Also ist a das inverse Element zu [mm] a^{-1}, [/mm] dh. [mm] (a^{-1})^{-1}=a.
[/mm]
Es fällt mir gerade noch eine etwas andere Lösungsmöglichkeit ein - und ich bin mir fast sicher, daß Dir diese Idee plausibler und nachvollziehbarer ist:
[mm] (a^{-1})^{-1} [/mm] ist das Inverse zu [mm] a^{-1}. [/mm]
Also ist [mm] (a^{-1})^{-1}*a^{-1}=1.
[/mm]
Also ist [mm] [(a^{-1})^{-1}*a^{-1}]*a=1*a.
[/mm]
Wende jetzt Körpergesetze an und erhälte am Ende das Gewünschte.
Gruß v. Angela
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Das erscheint mir jetzt sogar plausibler als das andere :)
>
> [mm]a^{-1}[/mm] ist das inverse Element von a (bzgl. der
> Multiplikation).
> Also ist nach [mm]a*a^{-1}=1.[/mm]
> Wegen der Kommutativität der Multiplikation ist auch
> [mm]a^{-1}*a=1.[/mm]
> Also ist a das inverse Element zu [mm]a^{-1},[/mm] dh.
> [mm](a^{-1})^{-1}=a.[/mm]
Und obwohl mir das jetzt einleuchtet fällt mir die Anwendung auf 4 doch noch schwer:
Ich könnte jetzt zwar sagen, dass [mm] a^{-1} [/mm] bzw. [mm] b^{-1} [/mm] das Invers von a bzw. b ist aber nicht warum man dann schreiben darf [mm] (ab)^{-1}. [/mm] Welches Axiom müsste man da anwenden?
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> Und obwohl mir das jetzt einleuchtet fällt mir die
> Anwendung auf 4 doch noch schwer:
>
> Ich könnte jetzt zwar sagen, dass [mm]a^{-1}[/mm] bzw. [mm]b^{-1}[/mm] das
> Invers von a bzw. b ist aber nicht warum man dann schreiben
> darf [mm](ab)^{-1}.[/mm] Welches Axiom müsste man da anwenden?
>
Hallo,
a und b sind beide Körperelemente, und sofern sie von der Null, dem neutralen Element der Addition, verschieden sind, haben sie jeweils ein Inverses bzgl. der Multiplikation.
Die beiden Verknüpfungen + und [mm] \* [/mm] im Körper verknüpfen zwei Körperelemente zu einem Körperelement.
Es ist also ab ein Körperelement.
Sofern man sich sicher sein kann, daß es von der Null verschieden ist, hat dieses nach den Körperaxiomen ein Inverses bzgl. der Multiplikation, für dieses Inverse schreibt man dann [mm] (ab)^{-1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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