Körperaxiome < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Mo 25.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Nun geht es um die Körperaxiome - ansich ja nicht weiter schwierig. 
Am Ende des Kapitels sind ein paar Aufgaben zu beweisen, und zwar:
[mm] a,b,c,d\in\IR; b\not= [/mm] 0, [mm] d\not= [/mm] 0
a) [mm] \bruch{a}{b}=\bruch{c}{d} [/mm] genau dann, wenn ad=bc
Ich habe das dann mal so gemacht:
[mm] \bruch{a}{b}=\bruch{c}{d} \gdw \bruch{ad}{bd}=\bruch{bc}{bd} \gdw [/mm] ad=bc
das müsste doch eigentlich so hinhauen, oder?
b) [mm] \bruch{a}{b}\pm\bruch{c}{d} [/mm] = [mm] \bruch{ad\pm bc}{bd}
[/mm]
Das habe ich dann so gemacht:
[mm] \bruch{a}{b}\pm\bruch{c}{d} [/mm] = [mm] \bruch{ad}{bd}\pm\bruch{bc}{bd} [/mm] = [mm] \bruch{ad\pm bc}{bd}
[/mm]
c) [mm] \bruch{a}{b}*\bruch{c}{d} [/mm] = [mm] \bruch{ac}{bd}
[/mm]
d) [mm] \bruch{\bruch{a}{b}}{\bruch{c}{d}} [/mm] = [mm] \bruch{ad}{bc}, (c\not= [/mm] 0)
Bei den letzten beiden frage ich mich, was man hier beweisen soll, da man das doch eigentlich wirklich so als Regel lernt. Und da bin ich mir jetzt nicht mehr sicher, ob die Aufgaben davor überhaupt richtig waren. Ich nehme an, man muss das hier irgendwie alles auf die Körperaxiome zurückführen, aber wie? Was mache ich denn bei den Körperaxiomen mit Brüchen? Das Einzige, wo da Brüche vorkommen, ist doch das multiplikativ Inverse, und wie komme ich damit hier weiter?
Viele Grüße
Bastiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Mo 25.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christiane!
Für eine reelle Zahl $x$ ist bekanntlich [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] eine andere Schreibweise für [mm] $x^{-1}$, [/mm] d.h. das multiplikative Inverse von $x$. Ebenso definiert man [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] als [mm] $ab^{-1}$, [/mm] wobei [mm] $a,b\in\IR$. [/mm] Schreibst du auf diese Weise deine Bruchterme um, erhältst du, unter Beachtung von [mm] $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ [/mm] und [mm] $\left(a^{-1}\right)^{-1}=a, a,b\in\IR$ [/mm] die zu beweisenden Gleichungen.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Di 26.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Hanno!
Danke für die Antwort. Ich habe das jetzt also so bewiesen:
zz: [mm] \bruch{a}{b}=\bruch{c}{d} \gdw [/mm] ad=bc
Beweis:
[mm] \bruch{a}{b}=\bruch{c}{d} \gdw ab^{-1}=cd^{-1} \gdw ab^{-1}bd=cd^{-1}db \gdw [/mm] ad=bc
zz: [mm] \bruch{a}{b}\pm\bruch{c}{d}=\bruch{ad\pm bc}{bd}
[/mm]
Beweis:
[mm] \bruch{a}{b}\pm\bruch{c}{d}=\bruch{ad\pm bc}{bd} \gdw ab^{-1}\pm cd^{-1}=(ad\pm bc)(bd)^{-1}=adb^{-1}d^{-1}\pm bb^{-1}cd^{-1} =ab^{-1}\pm cd^{-1}
[/mm]
(ist etwas komisch aufgeschrieben...)
zz: [mm] \bruch{a}{b}*\bruch{c}{d} =\bruch{ac}{bd}
[/mm]
Beweis:
[mm] \bruch{a}{b}*\bruch{c}{d}=ab^{-1}*cd^{-1}=acb^{-1}d^{-1}=ac(bd)^{-1}=\bruch{ac}{bd}
[/mm]
zz: [mm] \bruch{\bruch{a}{b}}{\bruch{c}{d}}=\bruch{ad}{bc}, (c\not= [/mm] 0)
Beweis:
[mm] \bruch{\bruch{a}{b}}{\bruch{c}{d}}=\bruch{ab^{-1}}{cd^{-1}}=ab^{-1}(cd^{-1})^{-1}=ab^{-1}c^{-1}d=\bruch{ad}{bc}
[/mm]
Ich hoffe mal, das stimmt so?
Viele Grüße
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
Hallo Christiane,
Im Prinzip ist das jetzt alles korrekt, allerdings würde ich es noch exakter formulieren, denn das entscheidende hierbei ist, dass du alles außer den Axiomen vergessen musst, also "bekannte Rechenregeln" nicht anwenden darfst!!:
z.B. bei [mm] $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\gdw [/mm] ad=bc$
Es ist: [mm] $\frac{a}{b}:=a*b^{-1}$
[/mm]
Der Beweis folgt nun mit:
[mm] $\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \gdw a*b^{-1}=c*d^{-1}$ [/mm] (Definition)
[mm] $\gdw(ab^{-1})*(bd)=(cd^{-1})*(bd)$ [/mm] (Eindeutigketeit der Multiplikation (Kann ebenfalls aus Axiomen geschlossen werden))
[mm] $\gdw a*b^{-1}*b*d=c*d^{-1}*b*d$ [/mm] (Assoziativgesetz)
[mm] $\gdw a*d*b*b^{-1}=b*c*d*d^{-1}$ [/mm] (Kommutativgesetz)
[mm] $\gdw (ad)*(b*b^{-1})=(bc)*(d*d^{-1})$ [/mm] (Assoziativgesetz)
[mm] $\gdw [/mm] ad*1=bc*1 [mm] \gdw$ [/mm] (Produkt der Inversen ergibt neut. Elem. d. Multiplikation.)
[mm] $\gdw [/mm] ad=bc $ ($1*a:=a$)
Die Anderen Aufgaben (bes. die dritte) kannst du dann größtenteils wieder auf diese Zurückführen - brauchst als nicht zwangsläufig erneut analog auf die Axiome eingehen!
Gruß Samuel
|
|
|
|
