Körperaxiome < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass (-a)^-1=-(a^-1) ist, falls a nicht gleich 0. |
Mein Plan war (-a)^-1 mit Hilfe von Körperaxiomen erst mal umzuformen.
Zunächst hab ich nach dem Neutralelement der Multiplikation ((x*1)=x)daraus 1*(-a)^-1 gemacht, um dann statt der 1 das Inverse Element der Multiplikation zu schreiben, also:
(a*a^-1)*(-a)^-1
Ich bezweifle gerade, dass mein Ansatz falsch ist, da ich das ^-1 nicht weg bekomme.
Wie bekomm ich "^-1" weg?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie, dass (-a)^-1=-(a^-1) ist, falls a nicht
> gleich 0.
> Mein Plan war (-a)^-1 mit Hilfe von Körperaxiomen erst
> mal umzuformen.
> Zunächst hab ich nach dem Neutralelement der
> Multiplikation ((x*1)=x)
Du meinst [mm] $1*x=x\,$
[/mm]
> daraus 1*(-a)^-1 gemacht, um dann
> statt der 1 das Inverse Element der Multiplikation zu
> schreiben, also:
> (a*a^-1)*(-a)^-1
> Ich bezweifle gerade, dass mein Ansatz falsch ist,
Du wolltest sagen, dass Du bezweifelst, dass er richtig ist 
Das macht aber nichts: Aus falschen Ansätzen kann man ja lernen!
> da ich
> das ^-1 nicht weg bekomme.
> Wie bekomm ich "^-1" weg?
Ich würde hier folgendes vorschlagen:
Falls noch nicht bekannt, dann zeige
I) [mm] $(-1)*a=-a\,.$
[/mm]
II) [mm] $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}=a^{-1}*b^{-1}\,$ [/mm] für alle [mm] $a\not=0\,,$ [/mm] $b [mm] \not=0\,.$
[/mm]
(Bei beiden Teilaufgaben kann man ausnutzen, dass die neutralen
Elemente eindeutig bestimmt sind - zudem sollte [mm] $0*a=a*0=0\,$ [/mm] bekannt
sein!)
Damit wird die Aufgabe dann relativ leicht:
[mm] $$(-a)^{-1}=((-1)*a)^{-1}$$
[/mm]
gilt gemäß (I), und es folgt...
(Weiterer Hinweis: Mach' Dir Gedanken, warum [mm] $(-1)^{-1}=-1\,$ [/mm] gilt!)
P.S. Auch hier hätte man direkt die Eindeutigkeit neutraler Elemente
ausnutzen und dann den Beweis auf anderem Wege führen können!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
zu Deinem Ansatz:
> Beweisen Sie, dass (-a)^-1=-(a^-1) ist, falls a nicht
> gleich 0.
> Mein Plan war (-a)^-1 mit Hilfe von Körperaxiomen erst
> mal umzuformen.
> Zunächst hab ich nach dem Neutralelement der
> Multiplikation ((x*1)=x)daraus 1*(-a)^-1 gemacht, um dann
> statt der 1 das Inverse Element der Multiplikation zu
> schreiben, also:
> (a*a^-1)*(-a)^-1
das kann man auch weiterrechnen:
[mm] $$=(\;(-(-a))*a^{-1}\;)*(-a)^{-1}=(\;(-1)*(-a)*a^{-1}\;)*(-a)^{-1}\,,$$
[/mm]
wenn Du begründest:
(I) Warum gilt $a=-(-a)$?
(II) Warum gilt [mm] $-\tilde{a}=(-1)*\tilde{a}\,$?
[/mm]
Um Weiterzukommen benutzt Du dann die Ass. und Komm. der Mult.!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
