Körperbeweis K= {0,1} < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Do 21.10.2004 | | Autor: | renguard |
Hallo zu zusammen,
Ich habe folgende Aufgabe gelößt, frage mich nur ob sie richtig ist.
Aufgabe:
Es sei K:= {0,1}. Über K seien die Verknüpfungen + und * gemäß der folgenden Tabellen definiert:
[Dateianhang nicht öffentlich]
a) Zeigen Sie, dass K ein Körper ist.
b) Verifiziren Sie, dass auf K keine Ordnung eingeführt werden kann, welche die Ordnungs und Monotonieaxiome erfüllt.
Meine Lösung:
zu a) Ist K ein Körper so gelten für ihn die Körperaxiome. Also ist K ein Körper da alle Bedingungen erfüllt sind.
A1) 1+0 = 0+1 [mm] \wedge [/mm] 1*0 = 0*1
A2) 1+(0+c) = (1+0)+c [mm] \wedge [/mm] 1*(0*1) = (1*0)*c
A3) 1*(0+c) = 1*0 + 1*c
A4) 0+0=0 [mm] \wedge [/mm] 0*1=0
1+0=0 [mm] \wedge [/mm] 1*1=1
A5) 1+(-1) = 0 [mm] \wedge [/mm] 1* [mm] 1^{-1}=1
[/mm]
Also ist K ein Körper da alle Bedingungen erfüllt sind.
zu b) Kann auf K eine Ordnung eingeführt werden müssen die Ordnungsaxiome erfüllt sein. Da die Axiome erfüllt sind kann auf K eine Ordung eingeführt werden.
O1) 0<1
O2) 0<1 [mm] \wedge [/mm] 1<c [mm] \Rightarrow [/mm] 0<c
O3) 0<1 [mm] \Rightarrow [/mm] 0+c < 1+c
O4) 0<1 [mm] \Rightarrow [/mm] 0*c < 1*c
Da die Axiome erfüllt sind kann auf K eine Ordung eingeführt werden.
Das einzige was mich stört ist daß in der ersten tabelle 1+1 nicht 0 sondern 2 macht. Und das auf K wohl eine Ordnung eingeführt werden kann.
Danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Ich habe deine Lösung gelesen, und mit Teil a komme ich ganz gut klar, das dürfte richtig sein.
Aber wo kommt denn in der ersten Tabelle 1+1=2 vor? Bei mir steht in der Tabelle 1+1=0, was auch richtig ist, da es im Körper {0,1} doch gar keine 2 gibt! Wie soll dann 1+1=2 sein?
Die Lösung der zweiten Aufgabe verstehe ich nicht - hast du da vielleicht genau das Gegenteil bewiesen?
Naja, habe mich nicht allzu lange mit dieser Aufgabe beschäftigt - gehört so eine Körperaufgabe nicht eigentlich eher in die Lineare Algebra?
Viele Grüße 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Do 21.10.2004 | | Autor: | renguard |
Gut ich frage anders,
Die Körperaxiome sind mir klar. Zur Tabelle der Addition, in der ersten Zeile ist 0 das neutrale Element, inder zweiten die eins.
Soweit ich diese Theoriezeug verstanden habe.
[Dateianhang nicht öffentlich]
jetzt aber die Frage wieso unten rechts Null (0). 1+1 ist rechnerisch 2 und nicht 0. Oder was haber ich nicht verstanden??
Bitte um Erklärung, Danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo renguard,
du mußt da aufpassen. Bei euch ist $K$ eine Menge, diese Menge enthält zwei Elemente. Zufällig werden die Elemente mit $0$ bzw. $1$ bezeichnet. Die Tabellen dienen dazu, "Rechenregeln" mit diesen Elementen zu definieren. Mit diesen so definierten Rechenregeln kann man dann nachweisen, dass $K$ die Körperaxiome erfüllt, also ist $(K,+,*)$ ein Körper.
Das $1+1=0$ ist, wird in dem Körper so definiert. Diese $1$ hat nichts mit der $1$ des Körpers der reellen Zahlen [mm] $\IR$ [/mm] zu tun.
Wir hatten diesen Körper mit den selben Rechenregeln, nur nannte unser Prof. das Nullelement oh anstatt $0$, und das Einselement ei anstatt 1.
Also, ersetze bei dir mal 1 durch ei, 0 durch oh. Dann wirst du dich nicht daran stören, dass ei+ei=oh gilt. 
(Vielleicht genügt es dir auch schon, wenn du [mm] $0_K$ [/mm] anstatt $0$ schreibst sowie [mm] $1_K$ [/mm] anstatt $1$. Dann achtest du eher darauf, dass diese Elemente aus der Menge $K$ sind!
)
PS: Das dieser Körper angeordnet werden kann, das glaube ich übrigens nicht. Ich kann dir auch beweisen, dass es nicht geht.
Liebe Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zu zusammen,
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> Ich habe folgende Aufgabe gelößt, frage mich nur ob sie
> richtig ist.
>
> Aufgabe:
> Es sei K:= {0,1}. Über K seien die Verknüpfungen + und *
> gemäß der folgenden Tabellen definiert:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> a) Zeigen Sie, dass K ein Körper ist.
>
> b) Verifiziren Sie, dass auf K keine Ordnung eingeführt
> werden kann, welche die Ordnungs und Monotonieaxiome
> erfüllt.
>
> Meine Lösung:
>
>
> zu a) Ist K ein Körper so gelten für ihn die Körperaxiome.
> Also ist K ein Körper da alle Bedingungen erfüllt sind.
>
> A1) 1+0 = 0+1 [mm]\wedge[/mm] 1*0 = 0*1
> A2) 1+(0+c) = (1+0)+c [mm]\wedge[/mm] 1*(0*1) = (1*0)*c
> A3) 1*(0+c) = 1*0 + 1*c
> A4) 0+0=0 [mm]\wedge[/mm] 0*1=0
> 1+0=0 [mm]\wedge[/mm] 1*1=1
> A5) 1+(-1) = 0 [mm]\wedge[/mm] 1* [mm]1^{-1}=1
[/mm]
>
> Also ist K ein Körper da alle Bedingungen erfüllt sind.
Das kann man so nicht stehenlassen. Du rechnest hier anscheinend immer so, als wenn du mit reellen Zahlen rechnen würdest (was ist bei dir eigentlich das $c$???). Ich mache dir mal vor, wie du das Kommutativgesetz bzgl. "+" nachweisen mußt, wenn du es nachrechnest.
Du hast zu zeigen: Für alle $x,y [mm] \in [/mm] K$ gilt: $x+y=y+x$.
Welche Fälle können den eintreten?
Es ist ja [mm] $K:=\{0;1\}$ [/mm] gegeben.
Also gibt es nur 4 Möglichkeiten für $x+y$:
1. Fall: $x=0$ und $y=0$. Dann gilt:
[mm] $x+y=0+0\stackrel{Tabelle}{=}0$ [/mm] sowie
[mm] $y+x=0+0\stackrel{Tabelle}{=}0$.
[/mm]
Also gilt in diesem Fall:
$x+y=0+0=0=0+0=y+x$
Gut, Komm.-G. bzgl. "+" gilt also für x=0=y.
2. Fall:
$x=1$ und $y=0$.
Dann gilt:
[mm] $x+y=1+0\stackrel{Tabelle}{=}1$ [/mm] und
[mm] $y+x=0+1\stackrel{Tabelle}{=}1$, [/mm] also:
$x+y=1+0=1=0+1=y+x$.
Gut, also Nachweis für diesen Fall ist auch erbracht!
3.Fall:
$x=0$ und $y=1$.
Das geht vollkommen analog zu dem zweiten Fall!
4. Fall:
$x=1$ und $y=1$.
Es gilt
[mm] $x+y=1+1\stackrel{Tabelle}{=}0$ [/mm] und
[mm] $y+x=1+1\stackrel{Tabelle}{=}0$, [/mm] also:
$x+y=1+1=0=1+1=y+x$.
Also ist der Nachweis auch für den 4en Fall erbracht.
Da das Kommutativg. bzgl. "+" für alle Fälle nachgerechnet wurde, gilt in [m](K,+,*)[/m] mit [mm] $K=\{0;1\}$ [/mm] das Kommutativg. bzgl. "+".
Genauso rechnest du das Kommutativg. bzgl. "*" nach.
(Man kann es auch anhand der symmetrischen Einträge der Tabellen begründen, aber ich weiß nicht, inwiefern dir das klar ist).
Übrigens, denk auch dran, zu erwähnen, dass "+" eine Abbildung von [m]K \times K \rightarrow K[/m] ist (analog für die Abbildung "*"). Das ist ja auch nicht selbstverständlich, aber anhand der Tabellen ersichtlich, da dort nur Einträge zu finden sind, die Elemente der Menge $K$ sind!
Das gleiche solltest du auch für "*" erwähnen!
Den Rest überlasse ich erst einmal dir...
Etwas aufwändiger wird es nachher, das Assoziativgesetz bzw. Distributivgesetz nachzuweisen, wenn du wieder die Fälle durchgehen willst...
> zu b) Kann auf K eine Ordnung eingeführt werden müssen die
> Ordnungsaxiome erfüllt sein. Da die Axiome erfüllt sind
> kann auf K eine Ordung eingeführt werden.
>
> O1) 0<1
> O2) 0<1 [mm]\wedge[/mm] 1<c [mm]\Rightarrow[/mm] 0<c
> O3) 0<1 [mm]\Rightarrow[/mm] 0+c < 1+c
> O4) 0<1 [mm]\Rightarrow[/mm] 0*c < 1*c
>
> Da die Axiome erfüllt sind kann auf K eine Ordung
> eingeführt werden.
Nein, deine Überlegungen sind nicht richtig. Du darfst nur mit Elementen aus $K$ und den in $K$ festgelegten Rechenoperationen argumentieren!
Also, auf $K$ kann keine Ordnung eingeführt werden, denn:
Angenommen, das wäre möglich. In einem geordneten Körper gilt stets, dass das Nullelement (das ist das neutrale Element bzgl. "+") kleiner als das 1-Element (das ist das neutrale Element bzgl. "*") ist, hier wäre also:
(I) $0<1$
(Die Existenz des Nullelementes und des Einselementes in dem Körper $K$ musst du übrigens in a) noch nachweisen! Es reicht nicht, dass es da zufällig ein Element gibt, das $1$ heißt! Damit ist noch lange nicht sichergestellt, dass die $1$ auch wirklich das neutrale Element bzgl. "*" ist!)
Addiert man auf beiden Seiten nun die [mm] $1\in [/mm] K$, so folgte nach dem ersten Monotoniegesetz:
(II) $0+1<1+1$
Nach der Tabbelle errechnet sich aber:
$0+1=1$ und $1+1=0$, also würde aus (II) folgen:
$1<0$, was aber wegen (I) dem Trichotomiegesetz widersprechen würde.
PS: Ein weiterer Hinweis zum Aufgabenteil a):
Das Inverse Element bzgl. "+" zu $1 [mm] \in [/mm] K$ ist wieder die [mm] $1$$(\in [/mm] K)$. Weil, wie du noch nachzuweisen hast, in $K$ das Element $0$ das neutrale Element bzl. "+" ist und $1+1=0$ (nach Definition, siehe Tabelle) gilt.
Dann kannst du schreiben: $-1=1 [mm] \in [/mm] K$.
(Es gibt also zu dem Element $1$ ein Inverses Element bzgl. "+": Es gilt (in $K$ und den dort definierten Rechenoperationen): $-1=1$, und da [mm] $1\in [/mm] K$ ist, folgt auch $-1 [mm] \in [/mm] K$.)
Hierbei ist $-1$ nur eine Schreibweise für das Inverse Element (bzgl. "+".) des Elementes $1$.
Liebe Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Fr 22.10.2004 | | Autor: | renguard |
Gut ich glaube ich muss das noch mal anschauen, das war wohl nichts.
Mfg und Danke für deine Mühe
Renguard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Sa 23.10.2004 | | Autor: | renguard |
-1=1???, nur Schreibweise??? -1 [mm] \in [/mm] K???
>
> PS: Ein weiterer Hinweis zum Aufgabenteil a):
> Das Inverse Element bzgl. "+" zu [mm]1 \in K[/mm] ist wieder die
> [mm]1[/mm][mm](\in K)[/mm]. Weil, wie du noch nachzuweisen hast, in [mm]K[/mm] das
> Element [mm]0[/mm] das neutrale Element bzl. "+" ist und [mm]1+1=0[/mm] (nach
> Definition, siehe Tabelle) gilt.
> Dann kannst du schreiben: [mm]-1=1 \in K[/mm].
> (Es gibt also zu
> dem Element [mm]1[/mm] ein Inverses Element bzgl. "+": Es gilt (in [mm]K[/mm]
> und den dort definierten Rechenoperationen): [mm]-1=1[/mm], und da
> [mm]1\in K[/mm] ist, folgt auch [mm]-1 \in K[/mm].)
> Hierbei ist [mm]-1[/mm] nur eine Schreibweise für das Inverse
> Element (bzgl. "+".) des Elementes [mm]1[/mm].
Kannst du mir das mit dem inversen Element nochmal genauer erklären??? -1=1, nur Schreibweise??? -1 [mm] \in [/mm] K???
Wie kann -1 =1 sein und wie kann -1 [mm] \in [/mm] K wenn K:={0,1 ist}???
Danke
renguard
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Hallo.
Ich denke, es hängt einfach nur daran, daß Du dir unter 1,0 und + bzw x die Addition bzw. Multiplikation von Zahlen 1,0 vorstellst.
Denk' doch einfach mal nicht an Zahlen.
Denk doch, was weiß ich, z.B. an Kamele. (blödes Beispiel, aber vielleicht bringts das) Sagen wir z.B., mit + bezeichnen wir, daß die Menge an Kamelen, die man hat, mit einer anderen Menge an Kamelen eine Liebesbeziehung eingeht. Sagen wir also, Du hast ein Kamel. Dieses trifft auf der Straße ein anderes Kamel, beide brennen zusammen durch und Du hast gar keines mehr, also 1+1=0.
Wirklich ein ziemlich dämliches Beispiel, auch wenn es nur dem Zweck diente, dein Denken irgendwie von Zahlen zu lösen.
Zurück zur eigentlichen Mathematik.
Du hast ein + zwischen den Elementen 0 und 1 definiert (siehe Tabelle).
Daß es bezüglich der Addition ein neutrales Element gibt, besagt, daß es ein Element gibt, daß Du zu jedem Element deiner Menge K dazuaddieren kannst, ohne, daß sich an diesem Element was ändert. Laut Tabelle ist es in diesem Fall das mit "0" bezeichnete Element.
Nun soll es zu jedem Element ein Inverses aus K geben, so daß das inverse + das eigentliche Element wiederum das neutrale Element ergeben. Im Falle der 1 ist dies wiederum die 1, da 1+1=0.
Nun könnte man aber z.B. das inverse eines Elements a mit -a benennen.
(Genausogut könnte man es aber auch a', a hoch -1 oder meinethalben auch Kamel nennen)
In dem Fall, der dir zu schaffen macht, hat man es eben -a genannt, und weil das Element eben 1 heißt, heißt das Inverse dazu auch -1. Damit ist, wie nun hoffentlich klar ist, nicht die Zahl -1 gemeint, und -1 ist damit sehr wohl auch in K, denn das Inverse zu 1 ist wiederum 1, deswegen -1=1.
Ich hoffe, daß ich nicht noch alles schlimmer gemacht habe und die Verwirrung nun nicht vollends komplett ist.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:26 So 24.10.2004 | | Autor: | renguard |
Ich habe hier den Beweis, den Hoffentlichbeweis :) ....
A1) Kommutativ ist in dem Strang " Kontrolle der Lösung+Anfang" gelöst und geprüft.
A2) Assoziativ (a+b)+c=a+c(b+c)
hier (a+b)=(a+b) für alle vier Fälle da nur zwei Elemente vorhanden.
A3) neutrales Element der Addition a+n=0 mit [mm] n\in \IR [/mm] mit n=1
0+0=0
1+0=1
A4) inverses Element der Addition a+c=0
0+c=0
c=-0
1+c=0
c=-1
also sind -0 und -1 die inversen Elemente der Addition. (Wenn das so richtig ist...)
Brauche dringend unterstützung in diesem Thema. Was mich noch stört ist das in meinen Büchern n,a,c mit [mm] \in \IR [/mm] definiert sind, da ich es ja nach euren Aussagen aber nicht mit Elementen aus IR zu tun habe. Bin auf euren Support gespannt....
Mfg und Danke 4all
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Also: Wir haben einen Körper in der Vorlesung wie folgt definiert, und so kannte ich das auch schon zum großen Teil aus der Schule:
1.1.3 Definition:
Sei F eine Menge mit 2 Operationen + und ∙, die jedem geordneten Paar (a,b) mit
a,b aus F eindeutig ein Element a+b bzw ab aus F zuordnen.
(1) (F,+) abelsche Gruppe
(2) (ab)c=a(bc) für alle a,b,c aus F
(3) Es gibt ein e aus F mit e∙a = a∙e = a für alle a aus F
(4) zu a aus F mit a ungleich 0 gibt es ein a* aus F mit a*∙a = 1
(5) a(b+c) = ab+ac und (a+b)∙c = ac+bc fuer alle a,b,c aus F
(6) e ungleich dem neutralen Element von +
(7) ab = ba fuer alle a,b aus F
Gilt (1), (2), (5), [(7)], {(3)}, so heißt F [kommutativer] Ring {mit Einselement}.
Gilt (1)-(6), so heißt F Schiefkörper, gilt (1)-(7), so heißt F Körper.
Wenn Du Fragen dazu hast, immer raus damit.
Ich hingegen frage mich, wie ich das immer unbewusst hinkriege, meine Tastatur auf amerikanisch einzustellen, und vor allem, wie das ohne Neustart rueckgaengig zu machen ist...
Naja, hoffe, dass (igitt, 2s) ich etwas helfen konnte, dein Problem aufzudecken.
MfG,
Christian
P.S *ver..., wie macht man einen Doppelpunkt...
Dein Beweis ist uebrigens richtig, wenn Du statt |R K in die Argumentation schreibst...
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OK, versuchen wir eine Musterlösung:
Punkt 1): (K;+) abelsche Gruppe.
Wenn Gruppe, dann abelsch, da + kommutativ ist. Wie bereits richtig erwähnt, kann man das an der Symmetrie der Tabelle entlang der Diagonalen erkennen.
Nebenbei: Die Tabelle ist nicht einfach nur Tabelle "aus Spaß an der Freud", sondern Stellt die Definition unserer Verknüpfungen dar, ist also, neben der formalen Logik das einzige Hilfsmittel, das wir überhaupt verwenden dürfen!
Dazu muß erstens + assoziativ sein.
Dafür gibt es die folgenden Fälle:
(0+0)+0=0=0+(0+0)
(0+0)+1=1=0+(0+1)
(0+1)+0=1=0+(1+0) (wegen der Kommutativität eigentlich trivial)
(1+1)+0=0=1+(1+0)
(1+1)+1=1=1+(1+1).
gilt also.
+ muß zweitens ein neutrales Element haben.
Das ist in unserem Fall die 0, da 1+0=1 und 0+0=0.
gilt wiederum.
+ hat ein inverses Element, zur 0 ist das die 0, da 0+0=0, zu 1 ist es die 1, da 1+1=0.
Daher ist (K,+) eine abelsche Gruppe.
Punkt 2): * assoziativ.
0*(0*0)=0=(0*0)*0
1*(0*0)=0=(1*0)*0
0*(1*0)=0=(0*1)*0
1*(1*1)=1=(1*1)*1
1*(0*1)=0=(1*0)*1
gilt wohl.
Punkt 3): Es gibt ein neutrales Element der Multiplikation.
Dieses Element ist die 1, da 1*0=0*1=0 und 1*1=1.
Punkt 4) zu jedem Element a aus K, a nicht das neutrale Element der Addition, gibt es ein a' aus K mit a'*a=1.
Dann bleibt ja wohl oder übel nur die 1 übedas Inverse zur 1 ist wiederum die 1, da 1*1=1.
Punkt 5): Das Distributivgesetz soll in beide Richtungen gelten
(1+1)*1=1*1+1*1=0
(0+1)*1=0*1+1*1=1
(0+0)*1=0*1+0*1=0
...
in weiser Vorraussicht des geltenden Kommutativgesetzes der Multiplikation lasse ich die verbleibenden Fälle mal weg, warum bloß hat Prof. Baumann das ganz ans Ende geschrieben, und warum bloß halte ich Esel mich an diese Reihenfolge?!?
Punkt 6): 1 ist ungleich 0. Das ist nun wirklich trivial, aber beileibe nicht selbstverständlich.
Punkt 7) (endlich!): Das Kommutativgesetz bzgl. * gilt auch, da
1*0=0*1=0.
Daher ist (K;+;*) ein Körper.
Vieles mag hier trivial oder unnötig erscheinen, aber auf der anderen Seite betrachtet, müßte man die Tabelle(n) nur geringfügig ändern, um unsere schönen und ach so trivialen Beweise wie ein Kartenhaus zusammenstürzen zu lassen.
Gruß,
Christian
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