Körperbeweis mit Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:14 Di 01.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Sei K ein Körper, sei d in N und seien [mm] $c_{0},c_{1},....,c_{d}$ [/mm] in K nicht alle 0. Zeige, dass [mm] $\#\{\lambda \in K; c_{0}+c_{1}\lambda +... +c_{d}\lambda^{d}=0\} \le [/mm] d$ |
Hallo,
Das Polynom erhalten würde ich ja so:
[mm] $\vektor{1& \lambda_{1} & \lambda_{1}^{2} & ... & \lambda_{1}^{d}
\\ 1 & \lambda_{2} & \lambda_{2}^{2} & ... & \lambda_{2}^{d}
\\ 1 & .. & ... &..
\\ 1 & \lambda_{d+1} & \lambda_{d+1}^{2} & ... & \lambda_{d+1}^{d}} \vektor{c_{0}\\ c_{1} \\ ... \\ c_{d}}
[/mm]
Kann ich damit was anfangen???
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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> Sei K ein Körper, sei d in N und seien
> [mm]c_{0},c_{1},....,c_{d}[/mm] in K nicht alle 0. Zeige, dass
> [mm]\#\{\lambda \in K; c_{0}+c_{1}\lambda +... +c_{d}\lambda^{d}=0\} \le d[/mm]
>
> Hallo,
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> Das Polynom erhalten würde ich ja so:
>
>
> [mm]$\vektor{1& \lambda_{1} & \lambda_{1}^{2} & ... & \lambda_{1}^{d} \\
1 & \lambda_{2} & \lambda_{2}^{2} & ... & \lambda_{2}^{d} \\
1 & .. & ... &.. \\
1 & \lambda_{d+1} & \lambda_{d+1}^{2} & ... & \lambda_{d+1}^{d}} \vektor{c_{0}\\
c_{1} \\
... \\
c_{d}}[/mm]
Hallo,
so erhältst Du kein Polynom.
Oder siehst Du ein Polynom, wenn Du das ausmultiplizierst?
Du sollst zeigen, daß das Polynom [mm] p(t)=c_0+c_1t+c_2t^2+...+c_dt^d [/mm] höchstens d verschiedene Nullstellen hat, sofern nicht alle [mm] c_i=0 [/mm] sind.
Nun kommen wir auf Dein Produkt zurück:
es ist
> [mm] $$\vektor{1& \lambda_{1} & \lambda_{1}^{2} & ... & \lambda_{1}^{d} \\ 1 & \lambda_{2} & \lambda_{2}^{2} & ... & \lambda_{2}^{d} \\ 1 & .. & ... &.. \\ 1 & \lambda_{d+1} & \lambda_{d+1}^{2} & ... & \lambda_{d+1}^{d}} \vektor{c_{0}\\ c_{1} \\ ... \\ c_{d}}$
[/mm]
[mm] =\vektor{p(\lambda_1)\\p(\lambda_2)\\...\\p(\lambda_{d+1})}.
[/mm]
>
>
> Kann ich damit was anfangen???
Ich denke ja.
Du hättest allerdings auch mal schildern sollen, anhand welcher Überlegungen Du zu dem Produkt gekommen bist.
Sei mindestens eins der [mm] c_i [/mm] von 0 verschieden.
Angenommen p(t) hätte d+1 verschiedene Nullstellen [mm] \lambda_1,...,\lambda_{d+1}.
[/mm]
Dann ist [mm] p(\lambda_i)=0 [/mm] für alle i=1,...,d+1,
also
> [mm] $$\vektor{1& \lambda_{1} & \lambda_{1}^{2} & ... & \lambda_{1}^{d} \\ 1 & \lambda_{2} & \lambda_{2}^{2} & ... & \lambda_{2}^{d} \\ 1 & .. & ... &.. \\ 1 & \lambda_{d+1} & \lambda_{d+1}^{2} & ... & \lambda_{d+1}^{d}} \vektor{c_{0}\\ c_{1} \\ ... \\ c_{d}}$
[/mm]
[mm] =\vektor{0\\\vdots\\0}.
[/mm]
Nennen wir die Matrix A, so können wir festhalten:
das Gleichungssystem Ax=0 hat eine von x=0 verschiedene Lösung.
Also ist die detA=0.
Was ist die Determinante Deiner Matrix? (Das war wahrscheinlich in VL oder Übung dran)
Was bedeutet das für die [mm] \lambda_i?
[/mm]
Entdecke einen Widerspruch.
Gruß v. Angela
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Danke und Gruss
>
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> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Di 01.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo angela,
<< Was ist die Determinante Deiner Matrix?
[mm] $\produkt_{1\le i < j \le d+1}(\lambda_{j}-\lambda_{i} ) [/mm]
<< Entdecke einen Widerspruch.
Die determinante ist nicht 0... ?
< Gruß v. Angela
Danke
Gruss
kushkush
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> Hallo angela,
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> << Was ist die Determinante Deiner Matrix?
>
> [mm]$\produkt_{1\le i < j \le d+1}(\lambda_{j}-\lambda_{i} )[/mm]
>
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Hallo,
ja, genau.
>
> << Entdecke einen Widerspruch.
>
> Die determinante ist nicht 0... ?
Wieso nicht?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Mi 02.03.2011 | | Autor: | kushkush |
< Wieso nicht?
Weil gilt:
M ist die Vandemornde Matrix:
$M [mm] \vektor{\lambda_{0}\\ \lambda_{1} \\ .\\ . \\ \lambda_{d+1}} [/mm] = [mm] \sum_{j}^{d+1}\vektor{\lambda_{j} p_{j}(\lambda_{0})\\ .\\ . \\ \lambda_{j}p_{j}(\lambda_{d+1})}= \vektor{0 \\ .\\ . \\ . \\ 0}$
[/mm]
Die [mm] $\lambda_{j}$ [/mm] sind verschieden und somit kann die determinante nicht 0 sein. ??
< Gruß v. Angela
Danke
Gruss
kushkush
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> < Wieso nicht?
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> Weil gilt:
>
> M ist die Vandemornde Matrix:
>
> [mm]M \vektor{\lambda_{0}\\
\lambda_{1} \\
.\\
. \\
\lambda_{d+1}} = \sum_{j}^{d+1}\vektor{\lambda_{j} p_{j}(\lambda_{0})\\
.\\
. \\
\lambda_{j}p_{j}(\lambda_{d+1})}= \vektor{0 \\
.\\
. \\
. \\
0}[/mm]
Hallo,
das verstehe ich gerade nicht,
>
> Die [mm]\lambda_{j}[/mm] sind verschieden und somit kann die
> determinante nicht 0 sein. ??
aber das hier ist die richtige Antwort auf meine zuvor gestellte Frage.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:09 Do 03.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo angela,
< aber das hier ist die richtige Antwort auf meine zuvor gestellte Frage.
Danke!!!!!
Gruss
kushkush
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