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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:16 So 19.10.2008 | | Autor: | elvis-13.09 |
| Aufgabe | Es seien [mm] p_{1}, [/mm] ..., [mm] p_{n} [/mm] verschiedene Primzahlen. gegeben seien die Aussagen:
[mm] A_{n}: [/mm] Der Körper [mm] \IQ(\wurzel{p_{1}}, [/mm] ..., [mm] \wurzel{p_{n}}) [/mm] hat den grad [mm] 2^{n} [/mm] über [mm] \IQ.
[/mm]
[mm] B_{n}: [/mm] Ein Element x [mm] \in\IQ [/mm] ist genau dann ein Quadrat in [mm] \IQ(\wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n}}), [/mm] wenn es eine Teilmenge [mm] {I\subset {1,...,n}} [/mm] gibt so dass [mm] x\produkt_{i\in I}p_i [/mm] ein Quadrat in [mm] \IQ [/mm] ist.
Zu zeigen ist, dass " [mm] A_{n} [/mm] und [mm] B_{n} \Rightarrow A_{n+1}" [/mm] und " [mm] A_{n} [/mm] und [mm] B_{n-1} \Rightarrow B_{n}" [/mm] gilt. |
Hallo!
Ich sitze seit längerem an obiger Aufgabe und wenn ich ehrlich bin, komme ich nicht sehr weit.
Wäre sehr hilfreich wenn ich alleine schon einen Ansatz hätte obiges anzugehen. Stehe gerade noch im luftleerem Raum.
Grüße Elvis.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:19 So 19.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Elvis
> Es seien [mm]p_{1},[/mm] ..., [mm]p_{n}[/mm] verschiedene Primzahlen. gegeben
> seien die Aussagen:
> [mm]A_{n}:[/mm] Der Körper [mm]\IQ(\wurzel{p_{1}},[/mm] ..., [mm]\wurzel{p_{n}})[/mm]
> hat den grad [mm]2^{n}[/mm] über [mm]\IQ.[/mm]
> [mm]B_{n}:[/mm] Ein Element x [mm]\in\IQ[/mm] ist genau dann ein Quadrat in
> [mm]\IQ(\wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n}}),[/mm] wenn es eine
> Teilmenge [mm]{I\subset {1,...,n}}[/mm] gibt so dass [mm]x\produkt_{i\in I}p_i[/mm]
> ein Quadrat in [mm]\IQ[/mm] ist.
>
> Zu zeigen ist, dass " [mm]A_{n}[/mm] und [mm]B_{n} \Rightarrow A_{n+1}"[/mm]
> und " [mm]A_{n}[/mm] und [mm]B_{n-1} \Rightarrow B_{n}"[/mm] gilt.
>
> Hallo!
> Ich sitze seit längerem an obiger Aufgabe und wenn ich
> ehrlich bin, komme ich nicht sehr weit.
> Wäre sehr hilfreich wenn ich alleine schon einen Ansatz
> hätte obiges anzugehen. Stehe gerade noch im luftleerem
> Raum.
Fuer die erste Aussage musst du ja zeigen, dass [mm] $[\IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_n}, \sqrt{p_{n+1}}] [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = [mm] 2^{n+1}$ [/mm] ist. Mit dem Gradsatz und [mm] $A_n$ [/mm] reicht es also zu zeigen, dass [mm] $[\IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_n}, \sqrt{p_{n+1}}] [/mm] : [mm] \IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_n})] [/mm] = 2$ ist. Da man eine Wurzel hinzuadjungiert, ist der Grad [mm] $\le [/mm] 2$; du musst also zeigen, dass [mm] $p_{n+1}$ [/mm] in [mm] $\IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_n}, \sqrt{p_{n+1}}$ [/mm] kein Quadrat ist; das kannst du mit [mm] $B_n$ [/mm] erledigen.
Nun zur zweiten Aussage; wir muessen also [mm] $B_n$ [/mm] zeigen.
Sei dazu $x [mm] \in \IQ$ [/mm] ein Quadrat in [mm] $\IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_n}) [/mm] = [mm] \IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_{n-1}})(\sqrt{p_n})$, [/mm] d.h. es gibt ein [mm] $x_1 [/mm] + [mm] \sqrt{p_n} x_2 \in \IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_{n-1}})(\sqrt{p_n})$ [/mm] mit [mm] $x_1, x_2 \in \IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_{n-1}})$ [/mm] so, dass [mm] $(x_1 [/mm] + [mm] \sqrt{p_n} x_2)^2 [/mm] = x$ ist. Weiterhin weisst du, dass [mm] $\sqrt{p_n}$ [/mm] nicht in [mm] $\IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_{n-1}})$ [/mm] liegt (sonst wuerd [mm] $A_n$ [/mm] nicht gelten). Vielleicht kommst du damit weiter?
Wenn ich Zeit hab denke ich ueber die zweite Aussage nochmal nach...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:28 So 19.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich bin verwirrt: soll denn in der Aufgabe ueberhaupt [mm] A_n [/mm] und [mm] B_n [/mm] gezeigt werden?
eigentlich doch nur die 2 Aussagen unter der Aufgabe.
Gruss leduart
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Hallo leduart!
Ja das ist so gedacht. Die Aussagen unten sollen gezeigt werden.
Grüße Elvis.
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Hallo!
> [mm][\IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_n}, \sqrt{p_{n+1}}] : \IQ] = 2^{n+1}[/mm]
> ist. Mit dem Gradsatz und [mm]A_n[/mm] reicht es also zu zeigen,
> dass [mm][\IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_n}, \sqrt{p_{n+1}}] : \IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_n})] = 2[/mm]
> ist. Da man eine Wurzel hinzuadjungiert, ist der Grad [mm]\le 2[/mm];
> du musst also zeigen, dass [mm]p_{n+1}[/mm] in [mm]\IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_n}, \sqrt{p_{n+1}}[/mm]
> kein Quadrat ist; das kannst du mit [mm]B_n[/mm] erledigen.
Muss ich nicht zeigen, dass [mm] p_{n+1} [/mm] kein Quadrat in [mm] \IQ( \wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n}}) [/mm] ist?
edit: Ich versuche mich jetzt mal folgendes zu zeigen: [mm] A_{n} [/mm] und [mm] B_{n} \Rightarrow A_{n+1} [/mm] .
Aufgrund obigem ist nur noch zu zeigen, dass [mm] p_{n+1} [/mm] kein Quadrat in [mm] \IQ(\wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n}}) [/mm] ist.
Aufgrund von Aussage [mm] B_{n} [/mm] ist dies genau dann der Fall wenn [mm] p_{n+1}\produkt_{i\in I}p_{i} [/mm] ein Quadrat in [mm] \IQ [/mm] ist. Das heißt aber, dass es ein c [mm] \in \IQ [/mm] gibt mit [mm] c^{2}=p_{n+1}\produkt_{i\in I}p_{i}. [/mm] Das heißt aber dass [mm] c=\wurzel{p_{n+1}\produkt_{i\in I}p_{i}}\in \IQ [/mm] ist.Da aber alle [mm] p_{i} [/mm] verschieden sind kann dies nicht der Fall sein, da [mm] \wurzel{p_i} \not\in \IQ [/mm] gilt. [mm] {A_{n} und B_{n}} \Rightarrow A_{n+1}
[/mm]
Wäre dies so akzeptabel?
Gruß Elvis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 So 19.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > [mm][\IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_n}, \sqrt{p_{n+1}}] : \IQ] = 2^{n+1}[/mm]
> > ist. Mit dem Gradsatz und [mm]A_n[/mm] reicht es also zu zeigen,
> > dass [mm][\IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_n}, \sqrt{p_{n+1}}] : \IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_n})] = 2[/mm]
> > ist. Da man eine Wurzel hinzuadjungiert, ist der Grad [mm]\le 2[/mm];
> > du musst also zeigen, dass [mm]p_{n+1}[/mm] in [mm]\IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_n}, \sqrt{p_{n+1}}[/mm]
> > kein Quadrat ist; das kannst du mit [mm]B_n[/mm] erledigen.
>
> Muss ich nicht zeigen, dass [mm]p_{n+1}[/mm] kein Quadrat in [mm]\IQ( \wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n}})[/mm]
> ist?
Genau, das war ein copy'n'paste-Fehler verbunden mit der Uhrzeit... ;)
> edit: Ich versuche mich jetzt mal folgendes zu zeigen:
> [mm]A_{n}[/mm] und [mm]B_{n} \Rightarrow A_{n+1}[/mm] .
> Aufgrund obigem ist nur noch zu zeigen, dass [mm]p_{n+1}[/mm] kein
> Quadrat in [mm]\IQ(\wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n}})[/mm] ist.
Genau.
> Aufgrund von Aussage [mm]B_{n}[/mm] ist dies genau dann der Fall
> wenn [mm]p_{n+1}\produkt_{i\in I}p_{i}[/mm] ein Quadrat in [mm]\IQ[/mm] ist.
> Das heißt aber, dass es ein c [mm]\in \IQ[/mm] gibt mit
> [mm]c^{2}=p_{n+1}\produkt_{i\in I}p_{i}.[/mm] Das heißt aber dass
> [mm]c=\wurzel{p_{n+1}\produkt_{i\in I}p_{i}}\in \IQ[/mm] ist.Da aber
> alle [mm]p_{i}[/mm] verschieden sind kann dies nicht der Fall sein,
> da [mm]\wurzel{p_i} \not\in \IQ[/mm] gilt.
Nun, das reicht so als Begruendung nicht. Aber es geht doch viel eleganter, etwa wie mit dem Beweis dass [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] nicht in [mm] $\IQ$ [/mm] ist (der funktioniert im wesentlichen fuer jede ganze Zahl in der ein Primfaktor nur einfach vorkommt) oder du wendest Eisenstein auf das Polynom [mm] $x^2 [/mm] - [mm] p_{n+1} \prod_{i\in I} p_i$ [/mm] an.
> [mm]{A_{n} und B_{n}} \Rightarrow A_{n+1}[/mm]
>
> Wäre dies so akzeptabel?
Fast :)
LG Felix
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> Sei dazu [mm]x \in \IQ[/mm] ein Quadrat in [mm]\IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_n}) = \IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_{n-1}})(\sqrt{p_n})[/mm],
> d.h. es gibt ein [mm]x_1 + \sqrt{p_n} x_2 \in \IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_{n-1}})(\sqrt{p_n})[/mm]
> mit [mm]x_1, x_2 \in \IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_{n-1}})[/mm] so,
> dass [mm](x_1 + \sqrt{p_n} x_2)^2 = x[/mm] ist. Weiterhin weisst du,
> dass [mm]\sqrt{p_n}[/mm] nicht in [mm]\IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_{n-1}})[/mm]
> liegt (sonst wuerd [mm]A_n[/mm] nicht gelten). Vielleicht kommst du
> damit weiter?
Ich verstehe deinen Ansatz nicht, wieso schnapps du dir ein [mm] x\in\IQ, [/mm] das ein Quadrat in [mm] \IQ(\wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n}}) [/mm] ist?Es sollte doch zunächst ein Quadrat in [mm] \IQ(\wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n-1}}) [/mm] sein?
Grüße Elvis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 So 19.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Sei dazu [mm]x \in \IQ[/mm] ein Quadrat in [mm]\IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_n}) = \IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_{n-1}})(\sqrt{p_n})[/mm],
> > d.h. es gibt ein [mm]x_1 + \sqrt{p_n} x_2 \in \IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_{n-1}})(\sqrt{p_n})[/mm]
> > mit [mm]x_1, x_2 \in \IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_{n-1}})[/mm] so,
> > dass [mm](x_1 + \sqrt{p_n} x_2)^2 = x[/mm] ist. Weiterhin weisst du,
> > dass [mm]\sqrt{p_n}[/mm] nicht in [mm]\IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_{n-1}})[/mm]
> > liegt (sonst wuerd [mm]A_n[/mm] nicht gelten). Vielleicht kommst du
> > damit weiter?
> Ich verstehe deinen Ansatz nicht, wieso schnapps du dir
> ein [mm]x\in\IQ,[/mm] das ein Quadrat in
> [mm]\IQ(\wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n}})[/mm] ist?Es sollte doch
> zunächst ein Quadrat in
> [mm]\IQ(\wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n-1}})[/mm] sein?
Nun, du musst doch zeigen dass dann $x [mm] \prod_{i \in I} p_i$ [/mm] mit $I [mm] \subseteq \{ 1, \dots, n \}$ [/mm] ein Quadrat in [mm] $\IQ$ [/mm] ist. Das ist doch ein Teil der Aussage [mm] $B_n$.
[/mm]
Und du musst das irgendwie mit Hilfe von [mm] $B_{n-1}$ [/mm] machen und dem Wissen, dass [mm] $\sqrt{p_{n+1}}$ [/mm] nicht in [mm] $\IQ(\wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n-1}})$ [/mm] liegt.
LG Felix
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Hallo Felix!
Ich habe also ein [mm] x\in\IQ [/mm] das Quadrat in [mm] \IQ(\wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n}}) [/mm] also gibt es [mm] x_{1}, x_{2}\in \IQ(\wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n-1}}).
[/mm]
So dass [mm] (x_{1}+\wurzel{p_{n}}x_{2})^2=x_{1}^2+2\wurzel{p_{n}}+p_{n}x_{2}^2=x\in\IQ.
[/mm]
Das heißt aber dass [mm] x_{2}=0 [/mm] sein muss.
Das heißt aber, dass [mm] x_{1}^2=x\in\IQ [/mm] sein muss. Und Jetzt kommt offenbar [mm] B_{n-1} [/mm] ins Spiel. Demnach ist ein [mm] x\in\IQ [/mm] genau dann ein Quadrat in [mm] \IQ(\wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n-1}}) [/mm] wenn [mm] x\produkt_{i\in I}p_{i} [/mm] ; [mm] I\subseteq\{1,...,n-1\} [/mm] ein Quadrat in [mm] \IQ [/mm] ist.
Nun ist [mm] x_{1}\in \IQ(\wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n-1}}). [/mm] Ich glaube ich habs gleich oder?
Grüße Elvis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 So 19.10.2008 | | Autor: | felixf |
> Hallo Felix!
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> Ich habe also ein [mm]x\in\IQ[/mm] das Quadrat in
> [mm]\IQ(\wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n}})[/mm] also gibt es [mm]x_{1}, x_{2}\in \IQ(\wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n-1}}).[/mm]
>
> So dass
> [mm](x_{1}+\wurzel{p_{n}}x_{2})^2=x_{1}^2+2\wurzel{p_{n}}+p_{n}x_{2}^2=x\in\IQ.[/mm]
Vorsicht, das stimmt so nicht! Das Quadrat ausmultipliziert ist [mm] $x_1^2 [/mm] + [mm] p_n x_2^2 [/mm] + [mm] \sqrt{p_n} x_1 x_2$.
[/mm]
Wenn jetzt [mm] $\sqrt{p_n}$ [/mm] nicht in [mm] $\Q(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_{n-1}}$ [/mm] liegt, dann sind $1$ und [mm] $\sqrt{p_n}$ [/mm] ueber [mm] $\Q(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_{n-1}}$ [/mm] linear unabhaengig, womit dies genau dann gleich [mm] $\lambda [/mm] + [mm] \sqrt{p_{n-1}} \mu$ [/mm] mit [mm] $\lambda, \mu \in \Q(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_{n-1}}$ [/mm] ist, wenn [mm] $\lambda [/mm] = [mm] x_1^2 [/mm] + [mm] p_n x_2^2$ [/mm] und [mm] $\mu [/mm] = [mm] x_1 x_2$ [/mm] ist.
Du weisst aber [mm] $\lambda [/mm] = x$ und [mm] $\mu [/mm] = 0$.
> Das heißt aber dass [mm]x_{2}=0[/mm] sein muss.
Nein, entweder ist [mm] $x_2 [/mm] = 0$ oder [mm] $x_1 [/mm] = 0$ (oder beides, aber dann waer $x = 0$).
> Das heißt aber, dass [mm]x_{1}^2=x\in\IQ[/mm] sein muss. Und Jetzt
> kommt offenbar [mm]B_{n-1}[/mm] ins Spiel. Demnach ist ein [mm]x\in\IQ[/mm]
> genau dann ein Quadrat in
> [mm]\IQ(\wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n-1}})[/mm] wenn
> [mm]x\produkt_{i\in I}p_{i}[/mm] ; [mm]I\subseteq\{1,...,n-1\}[/mm] ein
> Quadrat in [mm]\IQ[/mm] ist.
Genau.
> Nun ist [mm]x_{1}\in \IQ(\wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n-1}}).[/mm]
> Ich glaube ich habs gleich oder?
Ja, zumindest fuer den Fall [mm] $x_2 [/mm] = 0$.
Danach bleibt noch der Fall [mm] $x_2 \neq [/mm] 0$.
LG Felix
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HAllo ich denke ich habe die vorangegangen aufgabe hingekriegt, vielen dank für deine Hilfe Felix!
Nun muss ich noch folgendes mithilfe der vorangegangen aufgaben zeigen:
Zu zeigen ist, dass die Menge [mm] \{\wurzel{2},\wurzel{3},\wurzel{5},\wurzel{7}, ...\} [/mm] also die Menge der Quadratwurzeln der
Primzahlen linear unabhängig über [mm] \IQ [/mm] ist.
Ich dachte da an einen Induktionsbeweis nach n.wobei die Primzahlen mit [mm] p_{1},p_{2},... [/mm] bezeichnet werden.
Der Induktonsanfang ist klar.
Es gelte die Aussage für ein festes aber beliebiges n.
Nun ist ja die lineare unabhängigkeit der [mm] p_{i}, [/mm] über [mm] \IQ [/mm] äquivalent dazu, dass [mm] [\IQ(\wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n}}):\IQ]=2^{n} [/mm] ist.
Da ich doch mit [mm] A_{n} [/mm] und [mm] B_{n}
[/mm]
[mm] {A_{n+1}} [/mm] gezeigt habe, müsste der Induktionsschluss schon geglückt sein, oder sehe ich da was falsch?
Grüße Elvis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Mo 20.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> HAllo ich denke ich habe die vorangegangen aufgabe
> hingekriegt, vielen dank für deine Hilfe Felix!
> Nun muss ich noch folgendes mithilfe der vorangegangen
> aufgaben zeigen:
> Zu zeigen ist, dass die Menge
> [mm]\{\wurzel{2},\wurzel{3},\wurzel{5},\wurzel{7}, ...\}[/mm] also
> die Menge der Quadratwurzeln der
> Primzahlen linear unabhängig über [mm]\IQ[/mm] ist.
> Ich dachte da an einen Induktionsbeweis nach n.wobei die
> Primzahlen mit [mm]p_{1},p_{2},...[/mm] bezeichnet werden.
> Der Induktonsanfang ist klar.
Du meinst $n = 1$?
> Es gelte die Aussage für ein festes aber beliebiges n.
>
> Nun ist ja die lineare unabhängigkeit der [mm]p_{i},[/mm] über [mm]\IQ[/mm]
> äquivalent dazu, dass
> [mm][\IQ(\wurzel{p_{1}},...,\wurzel{p_{n}}):\IQ]=2^{n}[/mm] ist.
Genau.
> Da ich doch mit [mm]A_{n}[/mm] und [mm]B_{n}[/mm]
> [mm]{A_{n+1}}[/mm] gezeigt habe, müsste der Induktionsschluss schon
> geglückt sein, oder sehe ich da was falsch?
Du brauchst aber noch [mm] $B_n$.
[/mm]
Zeige doch etwas anderes per Induktion, und zwar: es gilt [mm] $A_n$ [/mm] und [mm] $B_n$ [/mm] fuer alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] (Und nicht nur [mm] $A_n$.) [/mm] Das bekommst du naemlich mit den beiden Aussagen aus deiner ersten Frage locker hin, wenn du einmal [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $B_1$ [/mm] gezeigt hast :)
(Aus [mm] $A_n$ [/mm] und [mm] $B_n$ [/mm] bekommst du mit der ersten Aussage [mm] $A_{n+1}$, [/mm] und aus [mm] $A_{n+1}$ [/mm] und [mm] $B_n$ [/mm] bekommst du dann ...)
Daraus folgt natuerlich, dass auch [mm] $A_n$ [/mm] fuer alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, was wiederum die jetztige Aufgabe loest.
LG Felix
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> (Aus [mm]A_n[/mm] und [mm]B_n[/mm] bekommst du mit der ersten Aussage
> [mm]A_{n+1}[/mm], und aus [mm]A_{n+1}[/mm] und [mm]B_n[/mm] bekommst du dann ...)
Reicht das nicht wenn ich aus [mm] A_{n} [/mm] und [mm] B_{n} [/mm] folgt [mm] A_{n+1} [/mm] zeige?
Ich glaube ich hab ein bisschen Probleme mit dem logischen kniff. :-(
> Daraus folgt natuerlich, dass auch [mm]A_n[/mm] fuer alle [mm]n \in \IN[/mm]
> gilt, was wiederum die jetztige Aufgabe loest.
Gilt [mm] A_{n} [/mm] denn nicht schon vorher für alle n?
Grüße Elvis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Mo 20.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > (Aus [mm]A_n[/mm] und [mm]B_n[/mm] bekommst du mit der ersten Aussage
> > [mm]A_{n+1}[/mm], und aus [mm]A_{n+1}[/mm] und [mm]B_n[/mm] bekommst du dann ...)
> Reicht das nicht wenn ich aus [mm]A_{n}[/mm] und [mm]B_{n}[/mm] folgt
> [mm]A_{n+1}[/mm] zeige?
> Ich glaube ich hab ein bisschen Probleme mit dem logischen
> kniff. :-(
Und woher willst du [mm] $B_n$ [/mm] nehmen? Und wie willst du von [mm] $A_{n+1}$ [/mm] (ohne [mm] $B_{n+1}$ [/mm] zu haben) auf [mm] $A_{n+2}$ [/mm] kommen?
> > Daraus folgt natuerlich, dass auch [mm]A_n[/mm] fuer alle [mm]n \in \IN[/mm]
> > gilt, was wiederum die jetztige Aufgabe loest.
> Gilt [mm]A_{n}[/mm] denn nicht schon vorher für alle n?
Gelten tut es schon. Aber das musst du erst beweisen bevor du es benutzen kannst.
Und: wenn du annehmen koenntest dass es gilt braeuchtest du nichts mehr zu zeigen.
LG Felix
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