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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 So 14.02.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es sei L/K eine Körpererweiterung.
Ist die Körpererweiterung L/K endlich so ist L/K algebraisch. In der Vorlesung kam als Zusatz vom Professor, dass die Umkehrung nicht gilt mit dem Hinweis sich den algebraischen Abschluss von [mm] \mathbb{R}/\mathbb{Q} [/mm] anzusehen. |
Hallo,
[mm] A:=\{ a \in \mathbb{R}| a \mbox{ ist algebraisch über} \mathbb{Q} \} [/mm] sei der Abschluss von [mm] \mathbb{R}/\mathbb{Q}.
[/mm]
Da [mm] \mathbb{Q} \subseteq [/mm] A (da für [mm] q\in \mathbb{Q} [/mm] X-q ein Polynom in [mm] \mathbb{Q}[X] [/mm] mit q als Nullstelle ist) ist die Körpererweiterung [mm] A/\mathbb{Q} [/mm] algebraisch.
Im Internet hab ich gefunden man soll sich die nten Wurzeln von 2 anschauen:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] ist [mm] X^n [/mm] -2 [mm] \in \mathbb{Q} [/mm] nach Eistenstein irreduzibel über [mm] \mathbb{Q} [/mm] mit [mm] \sqrt[n]{2} \in \mathbb{R} [/mm] als Nullstelle und normiert [mm] \Rightarrow m_{\sqrt[n]{2}, \mathbb{Q}} [/mm] = [mm] X^n [/mm] -2
[mm] \Rightarrow [\mathbb{Q}(\sqrt[n]{2}):Q]= grad(X^n [/mm] -2)=n
Wie folgt nun aber das die Körpererweiterung [mm] A/\mathbb{Q} [/mm] unendlich ist also [mm] [A:\mathbb{Q}] [/mm] unendlich ist? Vlt. mit dem Gradsatz?
LG,
sissi
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Ja. Für jedes $n$ enthält $A$ einen Zwischenkörper vom Grad $n$, also gilt für jedes $n$ [mm] $[A/\IQ]\ge [/mm] n$. Das ist nur möglich, wenn [mm] $[A/\IQ]$ [/mm] unendlich ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:12 Di 16.02.2016 | | Autor: | sissile |
Ah, weil [mm] \mathbb{Q}(\sqrt[n]{2}) [/mm] für jedes n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] ein Teilraum von A ist, ist die dimension des teilraums kleiner oder?
Ich habe noch eine Frage:
Wir haben zwei Definitionen:
1. Sei L/K eine Körpererweiterung und [mm] A:=\{a \in L| a\mbox{ ist algebraisch über} K\}. [/mm] A wird der algebraische Abschluss von K in L genannt.
2.Ein Körper [mm] \overline{K} [/mm] heißt algebraischer Abschluss eines Körpers K wenn [mm] \overline{K}/K [/mm] eine algebraische Körpererweiterung ist und [mm] \overline{K} [/mm] algebraisch abgeschlossen ist.
Wobei wir einen Körper algebraisch abgeschlossen nennen wenn z.B jedes Polynom im Körper mit [mm] grad(p)\ge [/mm] 1 eine Nullstelle im Körper besitzt.
Sind das nun zwei verschiedene Dinge die ich definiere?
Warum ist die Namen dann gleich?
Kannst du meine Verwirrung lösen?
Liebe Grüße,
sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Di 16.02.2016 | | Autor: | sissile |
Ah, weil $ [mm] \mathbb{Q}(\sqrt[n]{2}) [/mm] $ für jedes n $ [mm] \in \mathbb{N} [/mm] $ ein Teilraum von A ist, ist die dimension des teilraums kleiner oder?
Ich habe noch eine Frage:
Wir haben zwei Definitionen:
1. Sei L/K eine Körpererweiterung und $ [mm] A:=\{a \in L| a\mbox{ ist algebraisch über} K\}. [/mm] $ A wird der algebraische Abschluss von K in L genannt.
2.Ein Körper $ [mm] \overline{K} [/mm] $ heißt algebraischer Abschluss eines Körpers K wenn $ [mm] \overline{K}/K [/mm] $ eine algebraische Körpererweiterung ist und $ [mm] \overline{K} [/mm] $ algebraisch abgeschlossen ist.
Wobei wir einen Körper algebraisch abgeschlossen nennen wenn z.B jedes Polynom im Körper mit $ [mm] grad(p)\ge [/mm] $ 1 eine Nullstelle im Körper besitzt.
Sind das nun zwei verschiedene Dinge die ich definiere?
Warum ist die Namen dann gleich?
Kannst du meine Verwirrung lösen?
Liebe Grüße,
sissi
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Ja, dass mit den Teilräumen ist so richtig.
Ja, es handelt sich um zwei Dinge. Den relativen algebraischen Abschluss von $K$ in $L$. Dies ist einfach der maximale algebraische Zwischenkörper. Er ist eindeutig bestimmt.
Und "den" "abstrakten" algebraische Abschluss von $K$, den man ohne sonstige Zutaten bilden kann. Das "den" muss man in Anführungszeichen setzen, weil er nur eindeutig bis auf (unkanonische) Isomorphie ist. Das kann man beweisen, ebenso, dass es immer einen solchen gibt. Meistens wählt man dann einen aus und schreibt [mm] $\overline{K}$ [/mm] und spricht von dem algebraischen Abschluss.
Es gibt den folgenden Zusammenhang: Ist $L/K$ eine Körpererweiterung so, dass jedes nichtkonstante Polynom aus $K[x]$ mindestens eine Nullstelle in $L$ hat, so ist der relative algebraische Abschluss von $K$ in $L$ ein abstrakter algebraischer Abschluss.
Zum Beispiel ist der relative algebraische Abschluss von [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IC$ [/mm] (statt in [mm] $\IR$ [/mm] wie in der Aufgabenstellung) ein abstrakter algebraischer Abschluss von [mm] $\IQ$. [/mm] Man nennt ihn den Körper der algebraischen Zahlen. Der Körper in der Aufgabenstellung ist der Körper der reellen algebraischen Zahlen.
Wenn ich nichts übersehe, ist das aber nicht ganz trivial einzusehen. [Beweisidee: Reduziere im Falle positiver Charakteristik auf den Fall, dass $K$ perfekt ist und zeige mithilfe des Satzes vom primitiven Element, dass jeder Zerfällungskörper eines nichtkonstanten Polynoms in den relativen algebraischen Abschluss einbettet. Dann ist der relative algebraische Abschluss ein Zerfällungskörper aller nichtkonstanten Polynome, ebenso wie ein abstrakter algebraischer Abschluss, also sind sie isomorph und man sieht, dass der relative algebraische Abschluss algebraisch abgeschlossen ist.]
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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