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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Fr 09.10.2009 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Gibt es unendliche Körpererweiterungen von [mm] \IF_p?
[/mm]
Was ist der algebraische Abschluss von [mm] \IF_p? [/mm] Warum ist er unendlich?
Gibt es unendlich viele algebraische elemente über [mm] \IF_p [/mm] |
ich würde die erste und die letzte Frage mal mit ja beantworten da der algebraische Abschluss von [mm] \IF_p [/mm] nach der zweiten Zeile wohl unendlichsein wird.
Ist der algebraische Abschluss von [mm] \IF_2 \IF_2({\delta_n |n \in \IN})?
[/mm]
Die Polynome in [mm] \IF_2 [/mm] haben Nullstelle 0 oder n-te Einheitswurzeln.
Bei den übrigen p weiss ich es auch nicht.
Vielleicht kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Sa 10.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gibt es unendliche Körpererweiterungen von [mm]\IF_p?[/mm]
> Was ist der algebraische Abschluss von [mm]\IF_p?[/mm] Warum ist er
> unendlich?
> Gibt es unendlich viele algebraische elemente über [mm]\IF_p[/mm]
>
> ich würde die erste und die letzte Frage mal mit ja
> beantworten da der algebraische Abschluss von [mm]\IF_p[/mm] nach
> der zweiten Zeile wohl unendlichsein wird.
Gut kombiniert.
> Ist der algebraische Abschluss von [mm]\IF_2[/mm] [mm]\IF_2({\delta_n |n \in \IN})?[/mm]
Was ist [mm] $\delta_n$?
[/mm]
> Die Polynome in [mm]\IF_2[/mm] haben Nullstelle 0 oder n-te
> Einheitswurzeln.
Ja. Jedes Element eines endlichen Koerpers ist 0 oder eine Einheitswurzel (siehe den kleinen Satz von Fermat).
Altenativ ist [mm] $\bigcup_{n\in\IN} \IF_{2^n}$ [/mm] eine Beschreibung des alg. Abschlusses von [mm] $\IF_2$.
[/mm]
> Bei den übrigen p weiss ich es auch nicht.
Da ist es genauso.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 So 11.10.2009 | | Autor: | jumape |
Erstmal vielen Dank für die Antwort.
Ich habe aber noch eine Frage dazu. Warum ist das so? Also warum ist das der algebraische Aschluss?
Ich meine Polynome in [mm] \IF_2 [/mm] haben doch n-te Einheitswurzeln als Nullstellen,oder?
Nehmen wir zum Beispiel x^19-1, welchen zerfällungskörper hätte dann dieses Polynom und wie würde ich es Überhaupt in [mm] \IF_4 [/mm] übersetzen? x^19+3?
Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte
jumape
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 So 11.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo jumape!
> Ich habe aber noch eine Frage dazu. Warum ist das so? Also
> warum ist das der algebraische Aschluss?
Nun, ist [mm] $\alpha$ [/mm] ueber [mm] $\IF_p$ [/mm] algebraisch, so hat es ein Minimalpolynom $f [mm] \n \IF_p[x]$. [/mm] Sei $n = [mm] \deg [/mm] f$: dann liegen alle Nullstellen von $f$ in [mm] $\IF_p[x]/(f)$, [/mm] und dies ist ein endlicher Koerper mit [mm] $p^{\deg f}$ [/mm] Elementen, also [mm] $\IF_p[x]/(f) \cong \IF_{p^{\deg f}}$. [/mm] Damit liegen alle Nullstellen (und somit auch [mm] $\alpha$) [/mm] in [mm] $\IF_{p^{\deg f}}$. [/mm] Damit liegen alle algebraischen Elemente in [mm] $\bigcup_{n\in\IN} \IF_{p^n}$, [/mm] und jedes Element aus [mm] $\bigcup_{n\in\IN} \IF_{p^n}$ [/mm] liegt in einem [mm] $\IF_{p^n}$, [/mm] also in einer endlichen und damit algebraischen Erweiterung von [mm] $\IF_p$.
[/mm]
> Ich meine Polynome in [mm]\IF_2[/mm] haben doch n-te Einheitswurzeln
> als Nullstellen,oder?
Ja, oder halt 0. Das ist keine Einheitswurzel.
> Nehmen wir zum Beispiel x^19-1, welchen zerfällungskörper
> hätte dann dieses Polynom und wie würde ich es Überhaupt
> in [mm]\IF_4[/mm] übersetzen? x^19+3?
Du kannst in [mm] $\IF_4$ [/mm] auch [mm] $x^{19} [/mm] - 1$ schreiben. Es ist einfach $-1 = 3$ oder.
Du suchst also eine Erweiterung von [mm] $\IF_4$ [/mm] mit einer 19ten Einheitswurzel. Nun gibt es in [mm] $\IF_q$ [/mm] genau dann eine 19te Einheitswurzel, wenn $q - 1$ durch 19 teilbar ist (da [mm] $\IF_q^\ast$ [/mm] eine zyklische Gruppe der Ordnung $q - 1$ ist, und somit genau dann ein Element der Ordnung 19 hat, wenn $q - 1$ durch 19 teilbar ist).
Also schaust du [mm] $\IF_{4^n}$ [/mm] an und guckst, wann [mm] $4^n [/mm] - 1$ durch 19 teilbar ist. Oder anders gesagt: du bestimmst die Ordnung von 4 in [mm] $\IZ/19\IZ [/mm] = [mm] \IF_{19}$. [/mm] Man rechnet nach, dass [mm] $4^9 \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{19}$ [/mm] ist und [mm] $4^i \not\equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{19}$ [/mm] fuer $i = 1, [mm] \dots, [/mm] 8$: also ist [mm] $\IF_{4^9}$ [/mm] der Zerfaellungskoerper von [mm] $x^{19} [/mm] - 1$ ueber [mm] $\IF_4$.
[/mm]
LG Felix
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