Körperexistenz zeigen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \IC:= [/mm] {z=(a,b): [mm] a,b\in \IR} [/mm] versehen mit der Addition
z+z´=(a,b)+(a´,b´)=(a+a´,b+b´)
und der Multiplikation z*z´=(a*a´-b*b´, a*b´+a´*b)
Zeigen sie, dass [mm] (\IC,+,*) [/mm] ein Körper ist! |
ich blicke schon wieder nicht durch....ich weiß was ich machen soll, aber trotzdem hängt es...
Wenn man einen Körper beweisen will, muss man zeigen:
1.Addition
2.Multiplikation
3.neutrales Element.
Aber ich komme damit nicht so klar, kann die Definitionen nicht anwenden :(
Grüße
Mathegirl
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> Sei [mm]\IC:=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{z=(a,b): [mm]a,b\in \IR}[/mm] versehen mit der Addition
>
> z+z´=(a,b)+(a´,b´)=(a+a´,b+b´)
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> und der Multiplikation z*z´=(a*a´-b*b´, a*b´+a´*b)
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> Zeigen sie, dass [mm](\IC,+,*)[/mm] ein Körper ist!
> ich blicke schon wieder nicht durch....ich weiß was ich
> machen soll, aber trotzdem hängt es...
>
> Wenn man einen Körper beweisen will, muss man zeigen:
>
> 1.Addition
> 2.Multiplikation
> 3.neutrales Element.
>
> Aber ich komme damit nicht so klar, kann die Definitionen
> nicht anwenden :(
Hallo,
Deine Fragen sind zu vage.
Präzisiere sie. damit begibst Du Dich gleichzeitig auf den Weg zur Lösung.
Was meinst Du damit, daß man zeigen muß
> 1.Addition
> 2.Multiplikation
> 3.neutrales Element.
Wie lauten die Körperaxiome, die Du zeigen mußt, genau, und wo liegt Dein Problem bei der Anwendung?
Wenn wir das wissen, können wir uns an die Lösung des problems machen. Vorher nicht.
Gruß v. Angela
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Assoziativität und Kommutativität der Addition muss ich zeigen, das Distributivgesetz, neutrales Element und inverses Element. mehr nicht , oder? dann müsste ich ja bewiesen haben das dies ein Körper ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
http://de.wikipedia.org/wiki/Körper_(Algebra)
FRED
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ja stimmt, da steht ja alles zusammen...die frage ist nun, ob ich das einfach so beweisen soll oder zahlen einsetzen soll...die möglichkeit gibts ja auch noch
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Mann,
schreibe doch mal konkret, also den exakten Wortlaut der Körperaxiome auf.
Dann siehst du, dass da nix mit konkreten Zahlen ist, das muss allg. bewiesen werden.
Die (vermeintlichen Körper-)Elemente hast du gegeben, ebenso die additive und multiplikative Verknüpfung.
Die gilt es dann beim Nachweis der Axiome zu verwenden.
Du gehst auf keinen der Hinweise, die man dir gibt, ein.
So wird das hier und allg. in Mathe nix.
Wir sind gerne bereit zu helfen, aber von dir kommt nix ...
Also poste exakt, was zu zeigen ist!
Darauf können wir aufbauen, nicht aber auf vages Herumgedruckse ...
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | Additive Eigenschaften:
* a + (b + c) = (a + b) + c (Assoziativgesetz)
* a + b = b + a (Kommutativgesetz)
* 0 + a = a (neutrales Element)
* es existiert das additive Inverse − a mit ( − a) + a = 0
Multiplikative Eigenschaften:
* a*(b*c) = (a*b)*c (Assoziativgesetz)
* a*b = b*a (Kommutativgesetz)
* 1*a=a (neutrales Element) a nicht 0
* multiplikative Inverse a^(-1)=a
a*(b+c)= a*b+a*c (Distributivgesetz) |
So...fangen wir mal an mit dem Assoziativgsetz der Addition:
da mir das c fehlt weiß ich nun schon gleich wieder nicht, wie ich das machen soll!
Und genau darin liegt mein problem das ich es nicht verstehe!!! oder muss ich das z nutzen anstelle von c??
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
z:B: zeige für 3 komplexe Zahlen $z, z' , z''$:
$(z+z')+z'' = z+(z'+z'')$
FRED
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geht das also für z, z´und z´´? ich dachte es müsse für a und b sein, aber wenn das geht...weiß nur nicht recht wie man das zeigen soll... und darin steht nach wie vor mein problem!! Ich könnte das nur über Induktion zeigen z.B. bei der Addition.
oder geht das noch anders?
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Hallo nochmal,
du musst das über die gegebene Definition der Elemente und der jeweiligen Verknüpfungen machen.
Nimm [mm] $z,z',z''\in\IC$ [/mm] her, also $z=(a,b),z'=(a',b'),z''=(a'',b'')$ und rechne mal die Assoziativität geradeheraus mit der oben in der Aufgabenstellung definierten Verknüpfung + aus ...
Berechne also [mm] $z+(z'+z'')=(a,b)+\left((a',b')+(a'',b'')\right)=...$
[/mm]
und schaue, ob am Ende [mm] $...=\left((a,b)+(a',b')\right)+(a'',b'')=((z+z'))+z''$ [/mm] herauskommt ...
Gruß
schachuzipus
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Falls mir das jemand korrigieren würde wäre das sehr sehr nett!
1. ADDITIVE EIGENSCHAFTEN
a) Assoziativität
z+(z´+z")= (a,b)+((a´,b´)+(a",b")) = (a,b)+(a´,b´)+(a",b") = ((a,b)+(a´,b´))+(a",b") = (z+z´)+z"
b)Kommutativität
z+z´= (a,b)+(a´,b´)= (a+a´+b+b´)= (a´,b´)+(a,b)= z´+z
c)neutrales Element
0+z= 0+(a,b)= 0+a,0+b= (a,b)= z
d)inverses Element
(-z)+z= -(a,b)+(a,b)= -a+a, -b+b= 0
2.MULTIPLIKATIVE EIGENSCHAFTEN
a) Assoziativität
z*(z´*z")= (a,b)*(a´,b´)*(a",b")= ((a,b)*(a´,b´))*(a",b")= (z*z´)*z"
b)Kommutativität
z*z´= (a,b)*(a´,b´)= (a´,b´)*(a,b)=z´*z
c)neutrales Element
1*z= 1*(a,b)= 1*a+1*b= (a,b)= z
d) inverses Element
[mm] z^{-1}*z= (a,b)^{-1}*(a,b)= a*a^{-1}* b*b^{-1} [/mm] = 1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Do 05.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Falls mir das jemand korrigieren würde wäre das sehr sehr
> nett!
>
> 1. ADDITIVE EIGENSCHAFTEN
> a) Assoziativität
> z+(z´+z")= (a,b)+((a´,b´)+(a",b")) =
> (a,b)+(a´,b´)+(a",b") = ((a,b)+(a´,b´))+(a",b") =
> (z+z´)+z"
Nicht vollständig! Verwende in der reellen und in der komplexen Komponente jeweis die Assoziativität der reellen Zahlen [mm] $\IR$!
[/mm]
> b)Kommutativität
> z+z´= (a,b)+(a´,b´)= (a+a´+b+b´)= (a´,b´)+(a,b)=
> z´+z
Auch hier musst Du die Kommutativität der reellen Zahlen ausnutzen, d.h. $a+a'=a'+a$ und $b+b'=b'+b$.
> c)neutrales Element
> 0+z= 0+(a,b)= 0+a,0+b= (a,b)= z
Das (komplexe) neutrale Element solltest Du mit $(0,0)$ bezeichnen, wobei mit jeder $0$ das (reelle) neutrale Element gemeint ist.
> d)inverses Element
> (-z)+z= -(a,b)+(a,b)= -a+a, -b+b= 0
Okay. Auch hier sollte Dir klar sein, dass $-a$ das (reell) Inverselement zu $a$ ist.
Den folgenden Teil bitte ich Dich selbst nochmal zu überprüfen.
> 2.MULTIPLIKATIVE EIGENSCHAFTEN
> a) Assoziativität
> z*(z´*z")= (a,b)*(a´,b´)*(a",b")=
> ((a,b)*(a´,b´))*(a",b")= (z*z´)*z"
>
> b)Kommutativität
> z*z´= (a,b)*(a´,b´)= (a´,b´)*(a,b)=z´*z
>
> c)neutrales Element
> 1*z= 1*(a,b)= 1*a+1*b= (a,b)= z
>
> d) inverses Element
> [mm]z^{-1}*z= (a,b)^{-1}*(a,b)= a*a^{-1}* b*b^{-1}[/mm] = 1
Wie Du siehst, stützt sich der gesamte Beweis auf die aus dem reellen bekannten Körperaxiome und Definitionen der (komplexen) Addition und (komplexen) Multiplikation!
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